Approfondimento sugli o piccolo
Salve a tutti raga ho un paio di dubbi sugli "o" piccolo.Potreste spiegarmi perche se ho il seguente limite $lim_(x->0) (o(x^3))/x^3$ posso eliminare $o(x^3)$?
Grazie 1000 a tutti queli che mi aiuteranno.
Grazie 1000 a tutti queli che mi aiuteranno.
Risposte
Ciao, scrivere $o(x^3)$ significa che questo termine tende a zero più velocemente rispetto $x^3$,
quindi avrà un ordine infinitesimo superiore rispetto $x^3$ (per farti un esempio, $x^4$ è un $o(x^3)$ per $x->0$).
Nel tuo caso specifico, $lim_(x->0) (o(x^3))/x^3$ da come valore $0$, visto che il numeratore tende a zero più velocemente del denominatore...e quindi in questo caso $o(x^3)$ non lo si può eliminare perchè è determinante per il risultato del limite.
Se per esempio avessi avuto $lim_(x->0) (sen(x)+o(x^3))/x^3$ allora quell'$o(x^3)$ è trascurabile e quindi eliminabile, perchè sia considerandolo oppure no, il risultato del limite è sempre lo stesso, ossia $infty$.
quindi avrà un ordine infinitesimo superiore rispetto $x^3$ (per farti un esempio, $x^4$ è un $o(x^3)$ per $x->0$).
Nel tuo caso specifico, $lim_(x->0) (o(x^3))/x^3$ da come valore $0$, visto che il numeratore tende a zero più velocemente del denominatore...e quindi in questo caso $o(x^3)$ non lo si può eliminare perchè è determinante per il risultato del limite.
Se per esempio avessi avuto $lim_(x->0) (sen(x)+o(x^3))/x^3$ allora quell'$o(x^3)$ è trascurabile e quindi eliminabile, perchè sia considerandolo oppure no, il risultato del limite è sempre lo stesso, ossia $infty$.
Allora nn mi è chiara una cosa io utilizzo o piccolo ad esempio quando:
$lim_(x->0) x^2/x=0$ in questo caso posso utilizzare la seguente scrittura:$x^2=o(x)$ questo significa che $x^2$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x$.Quindi tende prima a 0.
Ora io nel mio caso ho $o(x^3)$ questo significa che vi sarà una certa funzione $f(x)$ per cui $lim_(x->0) f(x)/(x^3)=0$ e quindi posso scrivere $f(x)=o(x^3)$
$lim_(x->0) x^2/x=0$ in questo caso posso utilizzare la seguente scrittura:$x^2=o(x)$ questo significa che $x^2$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x$.Quindi tende prima a 0.
Ora io nel mio caso ho $o(x^3)$ questo significa che vi sarà una certa funzione $f(x)$ per cui $lim_(x->0) f(x)/(x^3)=0$ e quindi posso scrivere $f(x)=o(x^3)$
Si, certo!
Prima mi hai detto che scrivere $o(x^3)$, significa che che $o(x^3)$tende più velocemente a $0$ di $x^3$.Quindi significa che il seguente limite $lim_(x->0) (o(x^3))/x^3=0$ quello che io non riesco a capire è come trattare $o(x^3)$.....
"identikit_man":
Salve a tutti raga ho un paio di dubbi sugli "o" piccolo.Potreste spiegarmi perche se ho il seguente limite $lim_(x->0) (o(x^3))/x^3$ posso eliminare $o(x^3)$?
Non puoi farlo!
"Alexp":
scrivere $o(x^3)$ significa che questo termine tende a zero più velocemente rispetto $x^3$
non c'è contraddizione tra queste due affermazioni, non ho capito...
qual'è la tua obiezione?
quindi in questo caso nn posso appplicare il principio si sostituzione degli infinitesimi.Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore?
"Alexp":
Ciao, scrivere $o(x^3)$ significa che questo termine tende a zero più velocemente rispetto $x^3$
A voler fare il pelo alla quastione, dire che $f(x)$ è in $0$ un $"o"(x^3)$ significa affermare che:
$AA epsilon >0, exists delta >0:\ AA x in ]-delta,delta[,\, |f(x)|<=epsilon |x^3| \quad$.
Visto che $x^3$ è definitivamente non nulla intorno a $0$, la precedente scrittura equivale a dire che:
$AA epsilon >0, exists delta>0 :\ AA x in]-delta,delta[ \setminus \{ 0\} ,\ |f(x)|/|x^3|<=epsilon$
ovvero che:
(*) $lim_(x\to 0) (f(x))/x^3=0$.
Quindi, nonostante $"o"(x^3)$ sia in realtà una classe di funzioni e non una funzione, si fa l'abuso di notazione $lim_(x\to 0) ("o"(x^3))/x^3=0$ per intendere che vale la (*) per ogni $f \in "o"(x^3)$.
Quindi praticamente dire che una certa funzione è $o(x^3)$ significa che il seguente limite $lim_(x->0) f(x)/x^3=0$ e se considero come funzione $x^3$ cosa succede?
"identikit_man":
Quindi praticamente dire che una certa funzione è $o(x^3)$ significa che il seguente limite $lim_(x->0) f(x)/x^3=0$ e se considero come funzione $x^3$ cosa succede?
Ma ci vuole proprio tanto a calcolare $lim_(x\to 0) x^3/x^3$?
Insomma $x^3$ non è un $"o"(x^3)$.
No no lo so ke quel limite fa 1.La mia domanda era diversa; volevo capire cosa potevo dire sulla funzione x^3.Quindi praticamente con $o(x^3)$ indica una classe di funzioni e cioè tutte quelle funzioni che sn un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x^3$.Giusto?
"identikit_man":
No no lo so ke quel limite fa 1.
L'avevo capito, e perciò ci ho scherzato un po' sù.
"identikit_man":
La mia domanda era diversa; volevo capire cosa potevo dire sulla funzione x^3.
Beh, puoi dire molte cose, però non che $x^3 \in "o"(x^3)$.
"identikit_man":
Quindi praticamente con $o(x^3)$ indica una classe di funzioni e cioè tutte quelle funzioni che sn un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x^3$. Giusto?
Direi di sì, anche se ci sono certe minuzie che dovrei controllare... Ma in prima approssimazione direi di sì.
Ok grazie 1000 il dubbio mi è venuto perchè ad esercitazione di analisi il prof ci ha detto la seguente cosa:<> cioè in pratica se ho $f(x)+o(f(x))$ allora posso eliminare $o(f(x))$.Però nn ci ha dato nessuna altra spiegazione.
In effetti non è stata felicissima come spiegazione... Si vede che non avrà avuto tempo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo