Applicazioni Lineari Limitate e continue

[fede161]

Ciao ragazzi !
Ho qualche problema con la definizione di Applicazione lineare limitata e continua. Ho capito che il concetto di limitatezza e continuità sono coincidenti, tuttavia non riesco a capire alcune cose.
In particolare:

Siamo X e Y spazi normati e sia $ A:X to Y $ una applicazione lineare tra i due spazi.
Allora:

1) Esiste finito l'estremo superiore $ Sup_(||x||<=1) = M
2) Inoltre se A è continua:
$ Sup_(||x||<= 1)||Ax|| =Sup_(||x||= 1)||Ax|| = Sup_(x!= 0)||Ax|| = Inf{CinR;||Ax||<= C||x|| \forall x in X } $

Per quale motivo al punto 1, considera la norma minore di uno ??

Il punto 2 invece non mi è proprio chiaro.. avrei bisogno di una spiegazione... anche perchè non ho proprio capito tutta la sequenza di ragionamento...

Vi ringrazio

[marco.bre]

Per prima cosa, la definizione di applicazione lineare ha senso trattando funzioni tra spazi vettoriali, per parlare di continuità hai bisogno che sugli spazi dominio e codominio siano definite delle topologie; per parlare di limitatezza hai bisogno che (almeno) sullo spazio codominio sia definita una norma. in particolare se dominio e codominio sono entrambi spazi normati hai che la continuità e la limitatezza di un'applicazione lineare (in questo contesto chiamata operatore) "coincidono"

ora facciamo chiarezza

\(\displaystyle (X,\|-\|_X),(Y,\|-\|_Y) \) spazi normati, \(\displaystyle T: X \to Y\) operatore lineare
la norma (operatoriale) di $T$ il numero reale
\(\displaystyle \|T\|:=\mathrm{sup}_{x \in X: \|x\|_X \leq 1} |Tx\|_Y \)
l'operatore $T$ è limitato se \(\displaystyle \|T\|<+\infty \)

vale
\(\displaystyle \|T\|<+\infty \Leftrightarrow \exists K \in \mathbb R: \; \|Tx\|_Y \leq K \|x\|_X \; \forall x \in X\)
e in tal caso coincidono le quantità
\(\displaystyle \|T\|= \mathrm{sup}_{x \in X: \|x\|_X \leq 1} |Tx\|_Y\)
\(\displaystyle \mathrm{sup}_{x \in X: \|x\|_X = 1} |Tx\|_Y \)
\(\displaystyle \mathrm{sup}_{x \in X: x \neq 0} \frac{|Tx\|_Y}{\|x\|_X} \)
\(\displaystyle \mathrm{inf}\{ K \in \mathbb R: \; \|Tx\|_Y \leq K \|x\|_X \; \forall x \in X \}\)

sui libri di testo trovi definizioni differenti di norma operatoriale date dalle precedenti ma che, come vedi (se serve possiamo dimostrarle), coincidono nel caso di un operatore limitato

inoltre, come pare tu abbia già visto, vale
$T$ limitato $Leftrightarrow$ $T$ continuo (rispetto alle topologie metriche indotte dalle norme)

[Noisemaker]

L'insieme delle trasformazioni lineari tra due spazi vettoriali costituisce a sua volta uno spazio vettoriale, dunque appare naturale chiedersi se è posssibile dotatre tale spazio di norma. Si pone la seguente
Definizione
Siano $X$ e $Y$ due spazi vettoriali normati a dimensione finita e, per ogni trasformazione lineare $L:X\toY,$ sia
\[M:=\inf\{a: \|L(\mathbf{x})\|\le a\|\mathbf{x}\|,\forall \mathbf{x}\in X\}.\]

Alla norma definita sopra si possono dare due espressioni equivalenti:

[*:1vm8e9d9]
$$\|L\|=\sup \frac{\|L(\mathbf{x})\|}{\|\mathbf{x}\|},\qquad \mathbf{x}\in X,\quad \mathbf{x}\ne\mathbf{0};$$ [/*:m:1vm8e9d9]
[*:1vm8e9d9]
$$\|L\|=\sup \|L(\mathbf{x})\| ,\qquad \mathbf{x}\in X,\quad \|\mathbf{x}\|=1.$$ [/*:m:1vm8e9d9][/list:u:1vm8e9d9]
La prima espressione è di immediata comprensione, per la seconda si può osservare che
\begin{align}
\sup\{\|L(\mathbf{x})\|,\mathbf{x}\in X,\,\,\|\mathbf{x}\|=1\}\le\sup\left\{\frac{\|L(\mathbf{x})\|}{\|\mathbf{x}\|},\mathbf{x}\in X,\quad \mathbf{x}\ne\mathbf{0}\right\}.
\end{align}
D'altra parte
\begin{align}
\frac{\|L(\mathbf{x})\|}{\|\mathbf{x}\|} = \frac{\left\|L\left(\frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}\cdot \|\mathbf{x}\|\right)\right\|}{\|\mathbf{x}\|}= \frac{ \|\mathbf{x}\|\cdot\left\|L\left(\frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}\right)\right\|}{\|\mathbf{x}\|}=\left\|L\left(\frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}\right)\right\|=\frac{\left\|L\left( \mathbf{x} \right)\right\|}{\|\mathbf{x}\|}
=\left\|L\left( \mathbf{\bar x} \right)\right\|,
\end{align}
con $||\mathbf{\bar x}||=1,$ per cui possiamo scrivere:
\begin{align}
\sup\{\|L(\mathbf{x})\|,\mathbf{x}\in X,\,\,\|\mathbf{x}\|=1\}\ge\sup\left\{\frac{\|L(\mathbf{x})\|}{\|\mathbf{x}\|},\mathbf{x}\in X,\quad \mathbf{x}\ne\mathbf{0}\right\},
\end{align}
il che prova la validità della seconda delle espressioni per la norma sopra riportate. Da notare che tali espressioni talvolta vengono prese come definizioni di norma di un'applicazione lineare.
La definizione adottata per la norma di una trasformazione lineare $L:X\toY$ fa si che questa venga a dipendere dalla norma adottata negli spazi vettoriali $X$ e $Y.$ Ad esempio, consideriamo una matrice quadrata di ordine $2$ ad elementi reali. Essa rappresenta una trasformazione lineare $L:\RR^2\to\RR^2;$ assumiamo ad esempio per $\RR^2$ la norma $|| \cdot||_1$ definita da
\[\| \mathbf{x}\|_1=\sum_{i=1}^{2}|x_i|=|x_1|+|x_2|,\qquad \mathbf{x}=\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right). \]
Considerando la definizione di norma data dal punto due
$$\|L\|=\sup_{\|\mathbf{x}\|=1} \|L(\mathbf{x})\|,$$
è immediato verificare che $$ \sup_{\|\mathbf{x}\|=1} \|L(\mathbf{x})\|$$ cade in corrispondenza dei vertici del quadrato ${\mathbf{x}: ||\mathbf{x}||=1};$ pertanto indicando con $l_{ij}$ gli elementi di $L$ si ha:
\begin{align}
\|L\|_1=\max\{|l_{11}|+|l_{21}|\,\, ,\,\,|l_{12}|+l_{22}\}.
\end{align}
Analogamente, se si assume su $\RR^2$ la norma infinito, cioè
$$\|\mathbf{x}\|_{\infty}=\max|x_i|=\max\{|x_1|,|x_2|\}$$
si trova che
\begin{align}
\|L\|_{\infty}=\max\{|l_{11}|+|l_{12}|\,\, ,\,\,|l_{21}|+l_{22}\}.
\end{align}

[fede161]

Grazie mille per la risposta!!! Tutto un po' più chiaro..

Ma quindi (secondo la mia definizione) M sarebba la costante più piccola (tra tutte le costanti) che limita l'operatore (o l'applicazione).. giusto ?

[marco.bre]

no, da quel che vedo definisci la norma di un operatore $T:X to Y$ come
\(\displaystyle \|T\|:=\mathrm{sup}\{\|Tx\|_Y: \; x \in X, \|x\|_X \leq 1 \} \)