Applicazione teor.esistenza ed unicità (ODE)
Ho il seguente problema di Cauchy $ { ( y'=sqrt(1-y^2)/x ),( y(1)=-1/2 ):} $
e la domanda è: perchè ammette soluzione unica?!
Svolgimento:
La prima cosa che ho fatto è stata un attimo verificare se effettivamente le condizioni iniziale sono ben poste, cioè ho fatto un pò il dominio della $f(x,y)=sqrt(1-y^2)/x$ e ho verificato che $f:[1-a,1+a]x[1-b,1+b]->RR$, quindi siamo nelle ipotesi del teorema di esistenza della soluzione locale...ora per verificare l'unicità della soluzione dovrei verificare che f è uniformemente lipschitziana rispetto a x localmente rispetto a y. Ho provato a fare qualche conticino e dovrebbe venire così:
$|sqrt(1-y_1^2)/x-sqrt(1-y_2^2)/x|=|(sqrt(1-y_1^2)-sqrt(1-y_2^2))/x|=|1/x||(y_2^2-y_1^2)/(sqrt(1-y_1^2)+sqrt(1-y_2^2))|$
da cui maggiorando:
$<=|1/x||y_2^2-y_1^2|$
ora mi chiedevo posso continuare a maggiorare togliendo $|x|$ dato che è sempre positivo?! oppure devo fare qualche considerazione su $|1/x|$?
e la domanda è: perchè ammette soluzione unica?!
Svolgimento:
La prima cosa che ho fatto è stata un attimo verificare se effettivamente le condizioni iniziale sono ben poste, cioè ho fatto un pò il dominio della $f(x,y)=sqrt(1-y^2)/x$ e ho verificato che $f:[1-a,1+a]x[1-b,1+b]->RR$, quindi siamo nelle ipotesi del teorema di esistenza della soluzione locale...ora per verificare l'unicità della soluzione dovrei verificare che f è uniformemente lipschitziana rispetto a x localmente rispetto a y. Ho provato a fare qualche conticino e dovrebbe venire così:
$|sqrt(1-y_1^2)/x-sqrt(1-y_2^2)/x|=|(sqrt(1-y_1^2)-sqrt(1-y_2^2))/x|=|1/x||(y_2^2-y_1^2)/(sqrt(1-y_1^2)+sqrt(1-y_2^2))|$
da cui maggiorando:
$<=|1/x||y_2^2-y_1^2|$
ora mi chiedevo posso continuare a maggiorare togliendo $|x|$ dato che è sempre positivo?! oppure devo fare qualche considerazione su $|1/x|$?
Risposte
Ciao! 
A quanto leggo sei interessato all'esistenza e unicità locali.
Prendi l'aperto $\Omega := \{(x,y) \in \R^2 : x \ne 0, y \in (-1,1) \}$. Evidentemente, $f$ risulta di classe $C^1$ su $Omega$ e inoltre il dato iniziale $(x_0, y_0) = (1,-1/2) \in \Omega$: ciò basta (perchè?) a garantire esistenza e unicità locali, senza nemmeno un conto.
"Lorin":
Ho il seguente problema di Cauchy $ { ( y'=sqrt(1-y^2)/x ),( y(1)=-1/2 ):} $
e la domanda è: perchè ammette soluzione unica?!
A quanto leggo sei interessato all'esistenza e unicità locali.
Prendi l'aperto $\Omega := \{(x,y) \in \R^2 : x \ne 0, y \in (-1,1) \}$. Evidentemente, $f$ risulta di classe $C^1$ su $Omega$ e inoltre il dato iniziale $(x_0, y_0) = (1,-1/2) \in \Omega$: ciò basta (perchè?) a garantire esistenza e unicità locali, senza nemmeno un conto.
Col pensiero mi ero avvicinato a questo ragionamento, ma non ero sicuro. In pratica dal fatto che la funzione è di classe
$C^1$ posso garantirmi l'esistenza delle derivate rispetto a tutte e due le componenti e anche la continuità, da cui scatta la lipschitzianeità della funzione...giusto?!
$C^1$ posso garantirmi l'esistenza delle derivate rispetto a tutte e due le componenti e anche la continuità, da cui scatta la lipschitzianeità della funzione...giusto?!
Sì, esatto. Essendo $C^1$, la $f$ è, in particolare, continua; inoltre, grazie al teorema di Weierstrass, la derivata in $y$ è limitata su ogni compatto in $Omega$, quindi $f$ è localmente lipschitziana in $y$ uniformemente in $x$.
Pertanto sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locali. Tutto chiaro?
Pertanto sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locali. Tutto chiaro?
Si si...ti ho detto ci avevo pensato ma non mi convinceva a pieno...a volte quando passa tempo mi affido di più al calcolo a mano che alla teoria, ma è evidentemente più bello e pulito così. Thanx
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