Applicazione teorema di Lagrange
Ciao, qualcuno può aiutarmi con questo esercizio?
Applicando il teorema di Lagrange a $f(x)=logx$ nell'intervallo $[e, e^((n+1)/n)], n>=2, n in NN$, dedurre che
$((n+1)/n)^n<=e<=(n/(n-1))^n forall n>=2$.
f(x) è continua in $[e, e^((n+1)/n)]$ e derivabile in $(e, e^((n+1)/n))$, quindi $exists c in [e, e^((n+1)/n)]$ tale che
$(log(e^((n+1)/n))-log e)/(e^((n+1)/n)-e)=f'(c) Leftrightarrow (((n+1)/n)-1)/(e^((n+1)/n)-e)=f'(c)$ cosa posso fare per ricavare la disuguaglianza richiesta?
Applicando il teorema di Lagrange a $f(x)=logx$ nell'intervallo $[e, e^((n+1)/n)], n>=2, n in NN$, dedurre che
$((n+1)/n)^n<=e<=(n/(n-1))^n forall n>=2$.
f(x) è continua in $[e, e^((n+1)/n)]$ e derivabile in $(e, e^((n+1)/n))$, quindi $exists c in [e, e^((n+1)/n)]$ tale che
$(log(e^((n+1)/n))-log e)/(e^((n+1)/n)-e)=f'(c) Leftrightarrow (((n+1)/n)-1)/(e^((n+1)/n)-e)=f'(c)$ cosa posso fare per ricavare la disuguaglianza richiesta?
Risposte
Come puoi scrivere $f'(c)$? E come puoi maggiorarlo e minorarlo? Poi ti do un consiglio, se sei in una situazione del genere che sei un po' bloccato, ma sai già dove devi arrivare, parti dall'obbiettivo e cerca di renderlo il più simile alla cosa che sei riuscito ad ottenere fin'ora, in questo caso prova ad applicare il logaritmo nella tesi e manipola un po' quelle disuguaglianze.
P.S. Credo ci sia un errore nel primo membro della disuguaglianza, il denominatore dovrebbe essere n, non 2.
P.S. Credo ci sia un errore nel primo membro della disuguaglianza, il denominatore dovrebbe essere n, non 2.
Si il denominatore è $n$. Potresti dirmi come si può scrivere $f'(c)$?
$c$ potrebbe essere un $e^k$ con $1<=k<=(n+1)/n$ $forall n>=2$ e in tal caso sarebbe $f'(c)=1$?
$c$ potrebbe essere un $e^k$ con $1<=k<=(n+1)/n$ $forall n>=2$ e in tal caso sarebbe $f'(c)=1$?
Dato che $f(x)=lnx$, si ha che $f'(x)=1/x$, quindi $f'(c)=1/c$.
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