Applicazione teorema di Lagrange

[ssoniaa1]

Ciao a tutti,
non riesco ad arrivare ad una conclusione di questo esercizio:
Applicare il teorema di Lagrange alla funzione $f(x)=sqrt (2) ^ (1/x) $ , in [-3,-1]:
a) non si può applicare
b) esiste un unico punto c
c) esistono due punti c
d) esistono infiniti punti c

la funzione rispetta le condizioni di continuità e derivbilità e quindi inizio ad applicare il teorema
$ f(b) = 1/ sqrt (2) $
$ f(a) = 1 / root(6) (2) $
$ b - a = 2 $
$ f'(x) =(-x) sqrt (2) ^ (1/x) ln2 $
$ f'(c) =(-c) sqrt (2) ^ (1/c) ln2 $
$ (1/ sqrt (2) - 1 / root(6) (2)) /2=(-c) sqrt (2) ^ (1/c) ln2 $
$ 1/2 (1/ sqrt (2) - 1/ root(6) (2)) =(-c) sqrt (2) ^ (1/c) ln2 $
$ -1/2 ln2 (1/ sqrt (2) - 1/ root(6) (2)) = sqrt (2) ^ (1/c) (c) $
e a questo punto mi blocco perchè non riesco a giungere ad una conclusione rispondendo, quindi, al quesito.
Grazie in anticipo

[stormy1]

ciao
prima di tutto,mi sa che hai sbagliato a derivare
a me risulta $f'(x)=-((sqrt2)^(1/x)ln2)/x^2$
poi,assodato che almeno una soluzione c'è,senza cercare di risolvere l'equazione della tesi del teorema di Lagrange,verificherei se $f'(x)$ è strettamente monotona nell'intervallo dato e ne trarrei le dovute conclusioni