Applicazione Teorema di Fubini

[Plepp]

Buonasera,
ho un $A\subseteq RR^N$ misurabile con la proprietà che per ogni retta $r$ di $RR^N$ si ha $\mathcal{L}^1(A\cap r)=0$, dove $\mathcal{L}^1$ è la misura $1$-dimensionale di Lebesgue su $r$.

Dovrei applicare il Teorema di Fubini per dedurre che $\mathcal{L}^n(A)=0$, ma non saprei come farlo in modo corretto da un punto di vista formale. Un aiuto?

[Luca.Lussardi]

Suggerimento: $\mathcal L^n(A)=\int_A1dx$...

[Plepp]

"Luca.Lussardi":Suggerimento: $ \mathcal L^n(A)=\int_A1dx $...

In effetti sono stato poco chiaro su quale fosse la mia perplessità. Credo di aver risolto, dimmi se lo trovi corretto.

Potrei scrivere qualcosa del tipo
\[
\mathcal{L}^n(A)=\int_{\mathbb{R}^n} 1_A(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y
\]
con $y\in RR^{n-1}$ e $x\in RR$. Dato che
\[
\mathbb{R}^n=\bigcup_{y\in \mathbb{R}^{n-1}} L_y,\qquad \text{dove}\ L_y:=\{\text{retta di direzione fissata passante per }(0,y)\}
\]
(prendiamo le rette ortogonali, o almeno non parallele, a "$RR^{n-1}$") potrei scrivere
\[
1_A(x,y)= 1_{A\cap L_y}(x),
\]
e applicando Fubini scriverei
\[ \int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n-1}} 1_A(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=
\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\left(\int_{\mathbb{R}} 1_A(x,y)\,\mathrm{d}x\right)\,\mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\mathcal{L}^1(A\cap L_y)\,\mathrm{d} y=0.
\]

Pensandoci bene, però, dalle reminiscenze che mi restano di Teoria della Misura ricordo che il prodotto di misure di Lebesgue non coincide con la misura di Lebesgue sul prodotto. Ammesso che ricordi bene, come sistemare?