Applicazione Teorema del Dini
Prendiamo $F(x,y)=e^(2y^3+y)-x-x^3-1$ bisogna dimostrare che definsca implicitamente su tutta una semiretta (-a,$infty$), con a>0, una funzione y=f(x) di classe $C^(infty)$ tale che F(x,f(x))=0.Vi spiego i miei dubbi:
Perchè cio sia vero devono essere verificate , innanzi tuttole ipotesi del Teorema del Dini, quindi F(x,y)=0 e $F_y(x,y)!=0$;
Per la seconda si vede subito, essendo $F_y(x,y)=(6y^2+1)e^(2y^3+y)$ che è = 0 solo se $y -> -infty$ , quindi fissando un qualunque a>0 nell'intervallo $I=(-a,infty)$ la derivata sarà non nulla.La prima condizione però non è sempre verificata per l'intervallo $I$ infatti ad esempio muovendoci sugl'assi, l'equazione è vera solo nell'origine.Quindi mi chiedo se ho interpretato male il problema, o mi basta scegliere un punto (x,y) con $y in I$ che verifichi anche la prima condizione.
Perchè cio sia vero devono essere verificate , innanzi tuttole ipotesi del Teorema del Dini, quindi F(x,y)=0 e $F_y(x,y)!=0$;
Per la seconda si vede subito, essendo $F_y(x,y)=(6y^2+1)e^(2y^3+y)$ che è = 0 solo se $y -> -infty$ , quindi fissando un qualunque a>0 nell'intervallo $I=(-a,infty)$ la derivata sarà non nulla.La prima condizione però non è sempre verificata per l'intervallo $I$ infatti ad esempio muovendoci sugl'assi, l'equazione è vera solo nell'origine.Quindi mi chiedo se ho interpretato male il problema, o mi basta scegliere un punto (x,y) con $y in I$ che verifichi anche la prima condizione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo