Applicazione teorema dei residui
È possibile calcolare:
$I(\alpha) := \int_0^{\infty} (dx)/(1+x^(\alpha))$, $\alpha \in N+$
utilizzando il teorema dei residui? Se si, come?
Grazie mille!
$I(\alpha) := \int_0^{\infty} (dx)/(1+x^(\alpha))$, $\alpha \in N+$
utilizzando il teorema dei residui? Se si, come?
Grazie mille!
Risposte
se $\alpha$ è pari si riesce ad applicarlo: in questo caso la funzione integranda è pari, cioè simmetrica per
l'asse y, sicché $\int_0^{\infty}$ è la metà di $int_{-\infty}^{\infty}$. Le singolarità non sono reali e scegli quelle nel semipiano
superiore: ad esempio per $\alpha=2$ hai $i$, per $\alpha=4$ hai $e^{\pi/4},e^{3\pi/4}$, ecc.
L'integrale è allora $2i\pi$ che moltiplica la somma dei residui dell'integranda nei punti appena citati.
Nel caso $\alpha$ dispari ci sono problemi di dominio. al momento non vedo scappatoie..
l'asse y, sicché $\int_0^{\infty}$ è la metà di $int_{-\infty}^{\infty}$. Le singolarità non sono reali e scegli quelle nel semipiano
superiore: ad esempio per $\alpha=2$ hai $i$, per $\alpha=4$ hai $e^{\pi/4},e^{3\pi/4}$, ecc.
L'integrale è allora $2i\pi$ che moltiplica la somma dei residui dell'integranda nei punti appena citati.
Nel caso $\alpha$ dispari ci sono problemi di dominio. al momento non vedo scappatoie..
Si può dimostrare che
$int_0^(+oo) dx/(1+x^n) = (pi/n) / (sin(pi/n))$
Vedrò di cercare la dimostrazione in questa forum, che ricordo essere già stata postata... altrimenti al massimo la riscrivo.
$int_0^(+oo) dx/(1+x^n) = (pi/n) / (sin(pi/n))$
Vedrò di cercare la dimostrazione in questa forum, che ricordo essere già stata postata... altrimenti al massimo la riscrivo.
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