Applicazione integrali doppi per volumi
Salve a tutti, questo è il mio primo post.
Il mio problema è: come funziona esattamente l'applicazione degli integrali doppi per il calcolo di volumi di solidi?
Se poteste darmi delle regole generali ve ne sarei grato.
In ogni caso vi lascio un esercizio che dovrei risolvere: se riusciste ad aiutarmi almeno con questo vi ringrazierei. Non dovrebbe essere difficile, il fatto è che non so proprio come si debba procedere...
Calcolare il volume del seguente solido:
{(x,y,z)appartenenti a R3 t.c. x^2+y^2 <= z^2-2*z+2, 0<=z<=2}
utlizzando gli integrali doppi.
Il mio problema è: come funziona esattamente l'applicazione degli integrali doppi per il calcolo di volumi di solidi?
Se poteste darmi delle regole generali ve ne sarei grato.
In ogni caso vi lascio un esercizio che dovrei risolvere: se riusciste ad aiutarmi almeno con questo vi ringrazierei. Non dovrebbe essere difficile, il fatto è che non so proprio come si debba procedere...
Calcolare il volume del seguente solido:
{(x,y,z)appartenenti a R3 t.c. x^2+y^2 <= z^2-2*z+2, 0<=z<=2}
utlizzando gli integrali doppi.
Risposte
Nessuno sa darmi una mano?
quote:
Originally posted by asdf
[quote]Originally posted by echecrate
Nessuno sa darmi una mano?
Ci provo...
Il calcolo dei volumi vuol dire fare l'integrale della funzione costante 1 nella regione descritta. Il segreto sta tutto nel visualizzare bene che regione è ( fatti un disegno, ad esempio...)e descriverla ( individuare con precisione gli estremi su cui vai ad integrare, e non è facile)
Quando la regione è particolarmente comoda o simmetrica conviene cambiare le coordinate: attenzione però che se fai questo cambio devi moltiplicare la funzione da integrare per il modulo del determinante della Jacobiana che ti descrive il cambio di variabili.
Ad esempio se passi alle cilindriche ( r raggio, t angolo, z la z in senso "cartesiano" (x=rcos(t),y=r(sent),z=z) si può dimostrare che il determinante della Jacobiana è r.
La regione che ti interessa è descrivibile in coordinate cilindriche così: 0
E allora hai int( r dr dt dz). Integriamo prima su r e hai (r^2/2) da valutare fra 0 e la radice di quella roba.
Ovvero 1/2int((z^3/3 - z^2 + 2z)dt dz. Ora ad esempio ti conviene integrare prima sulla t e hai pi* int[(z^3 - z^2 +2z)dz]. Ora è facile. L'unica è descrivere bene la regione
In bocca al lupo!
Ok, credo di aver capito...ma come ci si deve comportare con il calcolo del volume di un solido di questo tipo?
{(x,y,z)appartenenti a R3, t.c x^2+y^2=4, z<=20, z>=x^2-y^n+4 }
A me era venuto in mente di calcolare il volume del cilindro di altezza 20 e raggio 2 e sottrargli poi il volume del cilindro che ha per base inferiore il solito cerchio di raggio 2, mentre sopra è limitato dalla porzione circolare del paraboloide iperbolico con sella in z=4.
E' corretto? Come va fatto altrimenti?
{(x,y,z)appartenenti a R3, t.c x^2+y^2=4, z<=20, z>=x^2-y^n+4 }
A me era venuto in mente di calcolare il volume del cilindro di altezza 20 e raggio 2 e sottrargli poi il volume del cilindro che ha per base inferiore il solito cerchio di raggio 2, mentre sopra è limitato dalla porzione circolare del paraboloide iperbolico con sella in z=4.
E' corretto? Come va fatto altrimenti?
Sì, è corretto.
Puoi fare così o integrarla direttamente. Puoi pensarla anche così: integrale ( dx*dy*dz) dove z va da x^2-y^n +4 a 20, -sqrt(4-y^n)
Ciao!
Puoi fare così o integrarla direttamente. Puoi pensarla anche così: integrale ( dx*dy*dz) dove z va da x^2-y^n +4 a 20, -sqrt(4-y^n)
Ciao!
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