Applicazione identica e continuità

[Kroldar]

Proposizione: Consideriamo i due spazi metrici $(X,d)$ e $(X,d')$ dove $d'(x,y)<=d(x,y)$, allora l'applicazione identica $id:(X,d)to(X,d')$ è continua.

Vorrei dimostrare questa proposizione ma, per quanto cerchi di pensarci, mi vengono in mente solo esempi in cui le due metriche inducono topologie equivalenti (esempio: $d'=d/(d+1)$) e allora il risultato è banalmente verificato, anzi varrebbe anche se si invertissero dominio e codominio. La topologia indotta da una metrica ha come base l'insieme delle palle, allora per ogni metrica ottengo sempre la stessa topologia unendo e/o intersecando palle. Qualcuno sa farmi un esempio di uno spazio in cui è possibile definire due metriche distinte (di cui l'una è minore o uguale rispetto all'altra) che non inducano due topologie equivalenti?

[Thomas16]

Se vuoi un esempio:

Prendi un sottoinsieme di $[0,1/2]$ con infiniti punti che accumuli per esempio in $1/4$. E guarda le due distanze $d_1$ e $d_2$:

-$d_1$ (un classico!):

$d_1(x,y)=1$ se $x!=y$
$d_1(x,y)=0$ se $x=y$

-$d_2$: la metrica indotta dalla norma euclidea;

le due norme sono t.c. $d_1(x,y)>=d_2(x,y)$

ma le topologie non sono equivalenti:

- $d_1$ induce la topologia discreta e tutti i punti sono aperti;
- in $d_2$, il punto corrispondente ad $1/4$ non è aperto. Se lo fosse per ogni punto dell'insieme (costituito dal solo punto corrispondente ad $1/4$) dovrebbe esistere una palla tutta contenuta nell'insieme, ovvero una palla euclidea che intersecata il sottoinsieme contenga solo $1/4$, ma questo non può essere perchè $1/4$ è stato scelto come punto di accumulazione dell'insieme;

torna???

[Kroldar]

torna eccome! grazie... una domanda: la scelta di $1/4$ come punto di accumulazione è arbitraria vero? ogni punto di quell'insieme è di accumulazione, giusto?

[Thomas16]

"Kroldar":torna eccome! grazie... una domanda: la scelta di $1/4$ come punto di accumulazione è arbitraria vero? ogni punto di quell'insieme è di accumulazione, giusto?

non c'è di che ... si certo, la scelta è asbitraria... in ogni caso a me interessava che un punto dell'insieme fosse di accumulazione per l'insieme... agli altri non chiedo nulla... (però indirettamente chiedo qualcosa, per esempio che siano infiniti, altrimenti non esisterebbe punto di accumulazione!!)...


ps: informazione: se tutti i punti sono di accumulazione l'insieme sarebbe perfetto (per definizione) e si dimostra che dovrebbe avere cardinalità più del numerabile, mentre nel contro-esempio bastano insiemi numerabili...

[Kroldar]

avresti idea di come partire per dimostrare la proposizione che ho citato all'inizio? magari se mi dai un suggerimento su cui lavorare?

[Luca.Lussardi]

Mi pare sia una banalità: dire che $Id$ è continua significa che $d'(Id(x_n),Id(x)) -> 0$ per ogni $x_n ->x$. Ma $d'(Id(x_n),Id(x))=d'(x_n,x)\le d(x_n,x) -> 0$.

[Kroldar]

sinceramente non mi è ben chiara la soluzione Luca, anzi negli appunti che sto leggendo ancora non introduce le successioni... personalmente stavo ragionando in termini di aperti, avevo pensato a una cosa di questo tipo: visto che si parla dell'applicazione identica, allora dobbiamo dimostrare che qualunque aperto della topologia indotta da $d'$ è anche un aperto per la topologia indotta da $d$... c'è modo di dimostrare la proposizione seguendo questa strada?

[Luca.Lussardi]

Certo che si può ed è abbastanza semplice anche questa strada, per altro equivalente a quella per successioni.

Basta considerare $A$ aperto rispetto alla metrica $d'$; allora se $x \in A$ esiste $R>0$ tale che l'insieme $B'=[y \in X: d'(y,x)

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[Kroldar]

vero...
un dubbio: si può evitare di menzionare $A$ e considerare direttamente la palla $B'$ che è sicuramente essa stessa un aperto in quanto una topologia indotta da una metrica ha per base la famiglia delle palle?

[Luca.Lussardi]

Sì, se hai già dimostrato che la continuità tra spazi metrici equivale al fatto che le controimmagini di palle aperte sono aperti.

Io ho usato solo ed esclusivamente la definizione di funzione continua tra spazi topologici, la definizione di continuità più generale che esista.

[Kroldar]

non ho ben capito... una "palla" non è di per sé un aperto?
io sapevo che ogni metrica induce una topologia che ha per base la famiglia delle palle, quindi le palle sono per forza degli aperti... erro?

[Luca.Lussardi]

Certo che lo è, ma non è il generico aperto; una funzione è continua se la controimmagine di ogni aperto è aperto.

Se f lavora tra spazi metrici ciò equivale a chiedere che la controimmagine di ogni palla è un aperto. Ma va dimostrato.

[Kroldar]

eh già!!
allora cerco di riordinare le idee e vedere se ho afferrato la tua dimostrazione... considero un generico aperto $A$ per la topologia indotta da $d'$, tale aperto contiene una palla $B'$ (chi ci assicura che esiste un numero reale $R$ tale che la suddetta palla esista?) e tale palla contiene un insieme $B$ che è una palla per la topologia indotta da $d$ dunque $B$ è un aperto per la topologia indotta da $d$... come concludo che $A$ è un aperto anche per la topologia indotta da $d$?

[Luca.Lussardi]

E' la definizione di topologia indotta dalla metrica: un insieme $A$ è aperto rispetto alla topologia indotta da una metrica $d$ se per ogni $x \in A$ esiste una palla centrata in $x$ e contenuta in $A$.

[Kroldar]

"Luca.Lussardi":E' la definizione di topologia indotta dalla metrica: un insieme $A$ è aperto rispetto alla topologia indotta da una metrica $d$ se per ogni $x \in A$ esiste una palla centrata in $x$ e contenuta in $A$.

ecco questa mi mancava

dunque $AA x in A$ deve esistere un opportuno $R$ per cui esista la palla $B'$: l'esistenza di questo $R$ va dimostrata? oppure da cosa discende?

[Luca.Lussardi]

No, non va dimostrata, è la definizione di aperto in uno spazio metrico, come ho già precisato.

[Kroldar]

Mi azzarderei ad aggiungere allora alla luce della definzione di topologia indotta dalla metrica suggeritami da Luca che se $AA x in (X,d')$ esiste una palla $B'$ secondo la topologia indotta da $d'$ che contiene una palla $B$ secondo la topologia indotta da $d$, allora $B'$ è un aperto per la topologia indotta da $d$. Visto che gli aperti nella topologia di $d'$ sono costituiti dall'unione di palle (e ricordando che l'unione di aperti è un aperto) allora tali aperti saranno anche aperti secondo la topologia di $d$, dunque ogni aperto per $d'$ è un aperto per $d$ da ciò segue che la topologia di $d'$ è meno fine della topologia di $d$. Da ciò seguirebbe banalmente la dimostrazione della proposizione al primo post. Torna?

[Luca.Lussardi]

Sì, torna.