Applicazione disuguaglianza medie aritmetica e geometrica
Ciao, amici!
Dovrei dimostrare che, data una partizione qualunque $P_n={x_0,x_1,···,x_n}$ in n intervalli $[x_(i-1),x_i]$ di ampiezza $\delta_i=x_i-x_(i-1)$ si ha sempre che
$1/n \sum_{i=1}^{n}\delta_i^2 >= (x_n-x_0)^2/n^2$ e che il minimo $(x_n-x_0)^2/n^2$ è raggiunto solo se tutti i $\delta_i$ sono uguali.
Dalla disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica so, per n numeri $x_k >=0$, che
$1/n \sum_{k=1}^{n}x_k >= root(n)(\prod_{k=1}^{n}x_k)$ e quindi direi che $1/n \sum_{i=1}^{n}\delta_i^2 >= root(n)(\prod_{i=1}^{n}\delta_i^2)$.
So anche che il massimo del prodotto di n numeri reali positivi a somma costante si ha se e solo se sono tutti uguali, per cui mi pare che
$\prod_{i=1}^{n}\delta_i <= ((x_n-x_0)/n)^n$ da cui, elevando al quadrato entrambi i termini (positivi) ed estraendo la radice n-esima:
$(\prod_{i=1}^{n}\delta_i)^(2/n) = root(n)(\prod_{i=1}^{n}\delta_i^2) <= ((x_n-x_0)/n)^2$
Però non sono certo di come arrivare da queste disuguaglianze a $1/n \sum_{i=1}^{n}\delta_i^2 >= ((x_n-x_0)/n)^2$ perché è vero che il massimo raggiunto (se e solo se tutte le $\delta_i$ sono uguali) da $ root(n)(\prod_{i=1}^{n}\delta_i^2)$ è $((x_n-x_0)/n)^2$, ma mi sfugge come dimostrare che $1/n \sum_{i=1}^{n}\delta_i^2$ non scende mai al di sotto di $((x_n-x_0)/n)^2$, neanche quando lo fa $ root(n)(\prod_{i=1}^{n}\delta_i^2)$, né tantomeno che il minimo è raggiunto solo se i $\delta_i$ della partizione sono uguali...
Qualcuno ha le idee più chiare di me?
Grazie di cuore a tutti e buon 2012!!!
Dovrei dimostrare che, data una partizione qualunque $P_n={x_0,x_1,···,x_n}$ in n intervalli $[x_(i-1),x_i]$ di ampiezza $\delta_i=x_i-x_(i-1)$ si ha sempre che
$1/n \sum_{i=1}^{n}\delta_i^2 >= (x_n-x_0)^2/n^2$ e che il minimo $(x_n-x_0)^2/n^2$ è raggiunto solo se tutti i $\delta_i$ sono uguali.
Dalla disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica so, per n numeri $x_k >=0$, che
$1/n \sum_{k=1}^{n}x_k >= root(n)(\prod_{k=1}^{n}x_k)$ e quindi direi che $1/n \sum_{i=1}^{n}\delta_i^2 >= root(n)(\prod_{i=1}^{n}\delta_i^2)$.
So anche che il massimo del prodotto di n numeri reali positivi a somma costante si ha se e solo se sono tutti uguali, per cui mi pare che
$\prod_{i=1}^{n}\delta_i <= ((x_n-x_0)/n)^n$ da cui, elevando al quadrato entrambi i termini (positivi) ed estraendo la radice n-esima:
$(\prod_{i=1}^{n}\delta_i)^(2/n) = root(n)(\prod_{i=1}^{n}\delta_i^2) <= ((x_n-x_0)/n)^2$
Però non sono certo di come arrivare da queste disuguaglianze a $1/n \sum_{i=1}^{n}\delta_i^2 >= ((x_n-x_0)/n)^2$ perché è vero che il massimo raggiunto (se e solo se tutte le $\delta_i$ sono uguali) da $ root(n)(\prod_{i=1}^{n}\delta_i^2)$ è $((x_n-x_0)/n)^2$, ma mi sfugge come dimostrare che $1/n \sum_{i=1}^{n}\delta_i^2$ non scende mai al di sotto di $((x_n-x_0)/n)^2$, neanche quando lo fa $ root(n)(\prod_{i=1}^{n}\delta_i^2)$, né tantomeno che il minimo è raggiunto solo se i $\delta_i$ della partizione sono uguali...
Qualcuno ha le idee più chiare di me?
Grazie di cuore a tutti e buon 2012!!!
Risposte
Ma non è più semplice usare il fatto che la funzione $f(t) = t^2$ è strettamente convessa?
Questo implica che, se $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in [0,1]$ e $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$, allora
\[ (1) \qquad f(\sum_i \lambda_i \delta_i ) \leq \sum_i \lambda_i f(\delta_i) .\]
Prendendo $\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = \frac{1}{n}$ ottieni la disuguaglianza richiesta.
La caratterizzazione dell'uguaglianza discende dalla stretta convessità di $f$: con la scelta fatta dei $\lambda_i$, l'uguaglianza in (1) si ha se e solo se i $\delta_i$ sono tutti uguali.
Questo implica che, se $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in [0,1]$ e $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$, allora
\[ (1) \qquad f(\sum_i \lambda_i \delta_i ) \leq \sum_i \lambda_i f(\delta_i) .\]
Prendendo $\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = \frac{1}{n}$ ottieni la disuguaglianza richiesta.
La caratterizzazione dell'uguaglianza discende dalla stretta convessità di $f$: con la scelta fatta dei $\lambda_i$, l'uguaglianza in (1) si ha se e solo se i $\delta_i$ sono tutti uguali.
$+oo$ grazie, Rigel!!! La disuguaglianza di Jensen: anche se l'ho studiata non mi era mai capitato di utilizzarla e non ci avevo proprio pensato...
Grazie ancora e felice anno!!!
Grazie ancora e felice anno!!!
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