Applicazione di Mobius
Studiare l'applicazione \(\displaystyle f:\mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{C} \) definita da :
\(\displaystyle f(x)= \frac{x-i}{x+i} \) per ogni \(\displaystyle x \in \mathbb{R} \)
mostrare che f è bigettiva da \(\displaystyle \mathbb{R} \) in \(\displaystyle \Gamma =|z \in \mathbb{C} : |z|= 1|-|1| \)
\(\displaystyle f(x)= \frac{x-i}{x+i} \) per ogni \(\displaystyle x \in \mathbb{R} \)
mostrare che f è bigettiva da \(\displaystyle \mathbb{R} \) in \(\displaystyle \Gamma =|z \in \mathbb{C} : |z|= 1|-|1| \)
Risposte
Tuoi tentativi...?
ho fatto lo studio di funzione, ma per trovare eventuali asintoti non so come comportarmi,
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}x \frac{x-i}{i+x}=+o- 1 \)
però no ha massimi..perché eguagliando la derivata a zero viene un assurdo,inoltre non ha intersezione con asse x, però non so se ho fatto giusto il lim,inoltre non so dimostrare che è iniettiva l'applicazione nel punto finale.
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}x \frac{x-i}{i+x}=+o- 1 \)
però no ha massimi..perché eguagliando la derivata a zero viene un assurdo,inoltre non ha intersezione con asse x, però non so se ho fatto giusto il lim,inoltre non so dimostrare che è iniettiva l'applicazione nel punto finale.
Non puoi fare uno studio di funzione come se avessi $f : RR -> RR$ !
Intanto devi far vedere che l'immagine è $\Gamma$. Considera $|f(x)| = |x + i|/|x - i|$ e moltiplica per $|x - i|/|x - i|$.
Trovi: $|x^2 + 1|/|x - i|^2 = (x^2 + 1)/|( x - i ) ( x + i )| = (x^2 + 1)/(x^2 + 1) = 1$. Dunque $f : RR \to \Gamma$ è suriettiva. Per l'iniettività prova ad usare la definizione.
Intanto devi far vedere che l'immagine è $\Gamma$. Considera $|f(x)| = |x + i|/|x - i|$ e moltiplica per $|x - i|/|x - i|$.
Trovi: $|x^2 + 1|/|x - i|^2 = (x^2 + 1)/|( x - i ) ( x + i )| = (x^2 + 1)/(x^2 + 1) = 1$. Dunque $f : RR \to \Gamma$ è suriettiva. Per l'iniettività prova ad usare la definizione.
e scusa il \(\displaystyle -1 \)? Comunque per lo studio di funzione avevo intuito che non potessi farlo 
per l'iniettività ci penso
.
per l'iniettività ci penso
.
Scusami, avevo letto male la funzione...
"Seneca":
Scusami, avevo letto male la funzione...
Comunque io non so che pesci prendere per lo studio di funzioni complesse,in quanto ala suriettività credo che sia una cosa che derivi dallo studio di funzione, del tipo che si comporta in un certo modo tra -1 e 1 mentre fuori no...però eco dato che non so fare lo studio di funzione non so fare il successivo xD
"Ariz93":
\(\displaystyle \Gamma =|z \in \mathbb{C} : |z|= 1|-|1| \)
Il punto è che non capisco questa scrittura qui. Io penso dovesse esserci scritto $\{ z \in CC : |z| = 1 \}$.
In ogni caso la suriettività si mostra come ti ho indicato prima.
Io pensavo invece che fosse l'intervallo -1 e 1 ,ripensandoci però f(x) no è negativo quindi credo sia come dici tu che appare anche giusta e ragionevole come condizione .
quindi credo sia come dici tu che appare anche giusta e ragionevole come condizione .
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