Applicazione di funzioni implicite
Assegnata la curva $ gamma $ di equazione cartesiana : $x^2/a^2-y^2/b^2=1$, determinare la retta tangente in un generico punto (x,y) di $gamma$
Non ho la minima idea su come devo impostare il problema
Non ho la minima idea su come devo impostare il problema
Risposte
Se consideri la funzione $f(x,y)=x^2/a^2-y^2/b^2-1$, la curva assegnata è la curva di livello $f(x,y)=0$. Calcolando il gradiente di $f(x,y)$ in un generico punto della curva, ottieni un vettore diretto lungo la normale: $((2x_0)/a^2,-(2y_0)/b^2)$. Un vettore tangente lo puoi trovare facilmente imponendo che il prodotto scalare sia nullo: $(a^2y_0,b^2x_0)$. Quindi: $(y-y_0)/(x-x_0)=(b^2x_0)/(a^2y_0)$, dove $y_0=+-sqrt(b^2(x_0^2/a^2-1))$. Utilizzare le funzioni implicite mi sembra un po' macchinoso. Tra l'altro, quella è un'iperbole equilatera riferita agli assi, si potrebbe risolvere con gli strumenti della geometria analitica, volendo fare un po' di conti. Se proprio vuoi procedere con le funzioni implicite, alla prossima.
un dubbio , cosa intendi per curva di livello? Grazie 1000
Nel caso di una funzione di $2$ variabili, una curva appartenente al dominio nei punti della quale la funzione assume lo stesso valore, nel nostro caso $0$.
signor speculor posso invitarla a visionare qst esercizio? funzioni-implicite-ed-etaylor-del-3-ordine-t79733.html vorrei il suo parere....grazie=)
Grazie per il "signor", non me lo merito. L'avevo terminato, poi mi è scaduta la pagina, ora devo riscriverlo. In ogni modo, dovresti imparare a svolgere i passaggi, soprattutto se ti chiede di arrivare fino alla derivata terza. Non puoi imparare tutte le formule, si tratta di derivare tenendo conto che $y$ è funzione di $x$.
"speculor":
Se consideri la funzione $f(x,y)=x^2/a^2-y^2/b^2-1$, la curva assegnata è la curva di livello $f(x,y)=0$. Calcolando il gradiente di $f(x,y)$ in un generico punto della curva, ottieni un vettore diretto lungo la normale: $((2x_0)/a^2,-(2y_0)/b^2)$. Un vettore tangente lo puoi trovare facilmente imponendo che il prodotto scalare sia nullo: $(a^2y_0,b^2x_0)$. Quindi: $(y-y_0)/(x-x_0)=(b^2x_0)/(a^2y_0)$, dove $y_0=+-sqrt(b^2(x_0^2/a^2-1))$. Utilizzare le funzioni implicite mi sembra un po' macchinoso. Tra l'altro, quella è un'iperbole equilatera riferita agli assi, si potrebbe risolvere con gli strumenti della geometria analitica, volendo fare un po' di conti. Se proprio vuoi procedere con le funzioni implicite, alla prossima.
Allora dato che ho solo la formula ,senza la dimostrazione ,di come posso trovare il vettore tangente, mi puoi spiegare tra chi hai fatto il prodotto scalare? Vettore tangente e?
Devi trovare $(u,v)$, sono infiniti, tale che $u*(2x_0)/a^2+v*(-2y_0)/b^2=0$. Puoi andare a occhio.
capisco....il concetto di (u,v) infiniti non sono mai stati mensionati durante il corso di anali 2, mi sa che dovrò ricorrere all'uso della memoria.. anche se amo ricavarmi le formule. Grazie mille 
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