Applicazione di de L'Hopital ad una funzione di cui si conosce il valore in un solo punto

[Caradhras]

Buongiorno,
come da titolo ho un dubbio sull'applicazione del teorema di de l'Hopital: in particolare, mi viene chiesto di studiare un limite nella forma $ lim_(x -> 0) (f(x)+a)/sinx $, dove $ f(0)=-a, f'(0)=b $; di primo acchito mi verrebbe in mente di usare la regola di De L'Hopital, tuttavia, avendo visto controesempi come questo http://matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=120189#p784265, mi chiedo se ciò sia lecito: in particolare la funzione del controesempio linkato non soddisfa l'ipotesi di derivabilità in un intorno di 0, e quindi (se non sbaglio) nel caso $ a=0 $ l'applicazione del teorema sarebbe illecita. Mi chiedo dunque se, invece, potrei usare de L'Hopital nel caso $ a!=b $. Grazie in anticipo

[Rigel1]

"Caradhras":Buongiorno,
come da titolo ho un dubbio sull'applicazione del teorema di de l'Hopital: in particolare, mi viene chiesto di studiare un limite nella forma $ lim_(x -> 0) (f(x)+a)/sinx $, dove $ f(x)=-a, f'(x)=b $;

Immagino tu intenda \(f(0) = -a\) e \(f'(0) = b\).
Non c'è bisogno di provare ad applicare la regola di l'Hopital (che, come osservi, non è applicabile con la sola ipotesi di derivabilità in \(0\)); puoi ragionare scrivendo l'argomento del limite come
\[
\frac{f(x) - f(0)}{x} \cdot \frac{x}{\sin x}
\]
e usando il teorema sul prodotto di limiti finiti.

[Caradhras]

Sì, hai ragione, avevo scritto male. Grazie per la risposta, non ci avevo proprio pensato!