Applicazione di criterio di convergenza serie

[Gino10001]

Come si applica il criterio del rapporto o della radice alla serie di termine generale indicato sotto?
il mio problema è che il termine generale non è proprio x elevato alla n.
Scusate l'ignoranza.

[ghira1]

"Gino1000":Come si applica il criterio del rapporto o della radice alla serie di termine generale indicato sotto?

Sotto dove?

[pilloeffe]

Ciao Gino1000,

Capisco che sei ai tuoi primi messaggi sul forum, per cui ti aiuto a scrivere la serie che non hai scritto: la sostituirò con la serie geometrica, poi tu scriverai la tua modificando opportunamente il codice:

$\sum_{n = 0}^{+\infty} x^n = 1/(1 - x) $

per $|x| < 1 $

$\sum_{n = 0}^{+\infty} x^n = 1/(1 - x) $

per $|x| < 1 $

[Gino10001]

$ (-1){::}{::}_(\ \ )^(n)x^(2n) $

[pilloeffe]

Dipende se $n$ parte da $0$ o da $1$:

$\sum_{n = 0}^{+\infty} (- 1)^n x^{2n} = \sum_{n = 0}^{+\infty} (- x^2)^n = 1/(1 + x^2) $

$\sum_{n = 1}^{+\infty} (- 1)^n x^{2n} = \sum_{n = 0}^{+\infty} (- x^2)^n - 1 = 1/(1 + x^2) - 1 = - x^2/(1 + x^2) $

per $|x| < 1 $

[SwitchArio]

"Gino1000":Come si applica il criterio del rapporto o della radice alla serie

Ciao Gino,
il criterio del rapporto o della radice si possono usare nei casi in cui il termine generale sia non negativo, tuttavia quella proposta da te è una serie a segni alterni, dunque non si può applicare direttamente.

Tuttavia se proprio vuoi usarlo puoi vedere se converge assolutamente e applicare lì il criterio del rapporto:

Suppongo $n$ parta da $0$
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left|(-1)^nx^{2n} \right| = \sum_{n=0}^{\infty}\left|x^{2n} \right| = \sum_{n=0}^{\infty}|x|^{2n}\) ora applico il criterio del rapporto, dunque

\(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{|x|^{2n+2}}{|x|^{2n}}= x^2 \) dove $x^2<1$ per $|x|<1$ e $x^2>1$ per $|x|>1$

Dunque convergendo assolutamente si ha che converge anche la serie iniziale

(Oppure arrivato a $\sum_{n=0}^{\infty}|x|^{2n}$ puoi riconoscere la serie geometrica di ragione $|x|^2$)

[pilloeffe]

"SwitchArio": ora applico il criterio del rapporto, dunque

$|x|^{2n + 2}/|x|^{2n}= x^2 $ dove $x^2 \to x^2<1$ per $|x|<1$ e $x^2 \to x^2>1 $ per $|x|>1$

Questa scrittura mi pare quantomeno ambigua, se non proprio errata; è $n \to + \infty $, $x^2 $ non tende a nulla, è il risultato del limite:

$\lim_{n \to +\infty} |a_{n + 1}/a_n | = \lim_{n \to +\infty} |x|^{2n + 2}/|x|^{2n}= x^2 $

il criterio del rapporto afferma che la serie converge se il risultato del limite $x^2 < 1 $ e ciò accade per $|x| < 1 $: dato che la serie converge assolutamente essa converge anche semplicemente per $|x| < 1 $ (per un noto teorema).

In realtà nel caso in esame non serve applicare alcun criterio di convergenza perché anche la serie inizialmente proposta si può ricondurre facilmente alla serie geometrica come ho già mostrato nel mio post precedente, oltre a quella che

"SwitchArio":(Oppure arrivato a $\sum_{n = 0}^{+\infty}|x|^{2n} $ puoi riconoscere la serie geometrica di ragione $|x|^2$)

[SwitchArio]

"pilloeffe":

Questa scrittura mi pare quantomeno ambigua, se non proprio errata; è $ n \to + \infty $, $ x^2 $ non tende a nulla, è il risultato del limite:

$ \lim_{n \to +\infty} |a_{n + 1}/a_n | = \lim_{n \to +\infty} |x|^{2n + 2}/|x|^{2n}= x^2 $

Ammetto che può sembrare ambigua, ma non c'è nulla di errato, in quel caso $x^2$ è semplicemente una costante e per un $k\in\mathbb{R}$ si ha \( \displaystyle \lim_{n \to + \infty}k=k \) (si verifica banalmente dalla definizione di limite).

Comunque ho proceduto in quel modo solo perchè la domanda di Gino1000 era "come applicare il criterio del rapporto/radice a quella successione", il resto viene da sé.
Ovviamente riconoscere la serie geometrica è la strada più veloce

[gugo82]

"Gino1000":Come si applica il criterio del rapporto o della radice alla serie di termine generale indicato sotto?
il mio problema è che il termine generale non è proprio x elevato alla n.

Le proprietà delle potenze, che dovrebbero esseri note dalle scuole medie, ti consentono di riscrivere il termine generale della tua serie come una potenza $n$-esima; quindi non c'è bisogno di applicare nessuna criterio per sapere dove e come la serie converge, ma basta conoscere le proprietà della serie geometrica.

[pilloeffe]

"SwitchArio":Ammetto che può sembrare ambigua, ma non c'è nulla di errato, in quel caso $x^2$ è semplicemente una costante e per un $k \in \RR $ si ha $\lim_{n \to +\infty} k=k $ (si verifica banalmente dalla definizione di limite).

Non è questo il punto in questione, ma questo:

"SwitchArio":dove $x^2 \to x^2<1 $ per $|x|<1$ e $x^2 \to x^2>1 $ per $|x|>1$

In particolare quei $\to x^2 $ quando invece sarebbe meglio specificare che quello è il risultato del limite per $n \to +\infty $ che fra l'altro è anche più breve da scrivere: $\lim_{n \to +\infty} x^2=x^2 $

"SwitchArio":Ovviamente riconoscere la serie geometrica è la strada più veloce

Su questo siamo perfettamente d'accordo...

[SwitchArio]

@pilloeffe risolto, in modo che ora sia più chiaro!