Applicazione della formula di Taylor

[el principe]

Salve a tutti non riesco a risolvere questo esercizio: $ lim_(x->0) 1/(1+e^x)$
Allora la formula di taylor di $e^x = 1+x+x^2/2+o(x^2)$
mentre quella di $1/(1+x)= 1-x+x^2+o(x^2)$
Quindi procedo eguagliando il polinomio di $e^x=y$: $y=1+x+x^2/2+o(x^2)$
$1/(1+y)= 1-y+y^2$ quindi: $1/(1+y)= 1-(1+x+x^2/2+o(x^2))+(1+x+x^2/2+o(x^2))^2$
$1/(1+y)= 1-1-x-x^2/2-o(x^2)+1+x^2+x^4/4+o(x^2)^2 + 2x+x^2+2 o(x^2)+x^3+2x o(x^2)+x^2 o(x^2)$
e quindi: $1/(1+y)=1+x+o(x^2)$
invece il risultato è: $1/(1+y)=1/2-x/4+o(x^2)$
Dove sbaglio? Per favore aiutatemi che dopodomani ho l'esame

[gugo82]

Ma perchè vuoi applicare Taylor?
Il [tex]$\lim_{x\to 0} \tfrac{1}{1+e^x}$[/tex] mi pare si calcoli benissimo anche senza, no?

[el principe]

Si lo so ma sul libro lo fa cosi...sono esercitazioni per applicare 2 polinomi di Taylor insieme è solo x esercitarmi

[gugo82]

Il problema è che [tex]$y=e^x \to 1$[/tex] per [tex]$x\to 0$[/tex], quindi devi approssimare [tex]$\tfrac{1}{1+y}$[/tex] con un polinomio di Taylor centrato in [tex]$1$[/tex] (ossia con un polinomio in cui figurino potenze di [tex]$y-1$[/tex]).

[el principe]

Ah ho capito...o almeno spero grazie x il tuo aiuto gugo