Applicazione della diagonalizzazione di matrici alla soluzione di sistemi di equazioni differenziali
salve a tutti ho un problema oggi con esercizi di questo tipo! (come da titolo). non riesco a trovare neanche su internet riferimenti ad alcuni esercizi inerenti!!! se qualcuno sapesse svolgerlo potrebbe darmi una mano? grazie mille
Risposte
Questa mi pare tutt'altro che algebra, forse avresti più successo se postassi nella sezione giusta 
[xdom="vict85"]Sposto in analisi matematica[/xdom]
no aspettate! l'esercizio e' da algebra xD cioe' il professore vuole la risoluzione di questo esercizio utilizzando il metodo della diagonalizzazione (autovettori e autovalori) di matrici associate di un'applicazione lineare!!!!!
La sezione era comunque sbagliata perché algebra lineare andrebbe in geometria e algebra lineare . Comunque gli analisti sanno diagonalizzare una matrice. Trovo che la sezione ora sia corretta.
. Comunque gli analisti sanno diagonalizzare una matrice. Trovo che la sezione ora sia corretta.
La matrice associata al sistema è :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix} \)
Essa ha un solo autovalore (doppio): $lambda_1=lambda_2=2$.
L'autovettore corrispondente ( che indico con \(\displaystyle v_1=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix} )\) si trova imponendo la condizione :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}2-2&1\\0&2-2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \)
Da cui $y_1=0,x_1= qualunque $; scegliendo $x_1=1$ ne segue:
\(\displaystyle v_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \)
Occorre ora un altro autovettore ( che si chiama "autovettore generalizzato" e che indico con $v_2$). Esso si costruisce come segue. Calcoliamo dapprima il vettore \(\displaystyle u=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} \) dato dalla condizione :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}2-2&1\\0&2-2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}=v_1= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \)
Risulta : $q=1,p=qualunque $ e scegliendo $p=0$ si ha :
\(\displaystyle u=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \)
Come è noto dalla teoria, l'autovettore $v_2$ richiesto è allora :
\(\displaystyle v_2=tv_1+u=t\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix} \)
La soluzione \(\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \) del sistema è pertanto data da :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =e^{2t}(Av_1+Bv_2)\)
dove A e B sono costanti da determinare in base alle condizioni iniziali.
Sostituendo i valori trovati per $v_1,v_2$ risulta :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =e^{2t}\left[A\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} +B\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix} \right]=e^{2t} \begin{pmatrix}A+Bt\\B\end{pmatrix} \)
Esplicitando, si ha infine:
\(\displaystyle \begin{cases}x=e^{2t}(A+Bt)\\y=Be^{2t}\end{cases} \)
Nei due casi particolari, indicati nel testo, dovresti trovare $A=1,B=0$ nel primo caso e $A=0,B=1$ nel secondo.
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix} \)
Essa ha un solo autovalore (doppio): $lambda_1=lambda_2=2$.
L'autovettore corrispondente ( che indico con \(\displaystyle v_1=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix} )\) si trova imponendo la condizione :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}2-2&1\\0&2-2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \)
Da cui $y_1=0,x_1= qualunque $; scegliendo $x_1=1$ ne segue:
\(\displaystyle v_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \)
Occorre ora un altro autovettore ( che si chiama "autovettore generalizzato" e che indico con $v_2$). Esso si costruisce come segue. Calcoliamo dapprima il vettore \(\displaystyle u=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} \) dato dalla condizione :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}2-2&1\\0&2-2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}=v_1= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \)
Risulta : $q=1,p=qualunque $ e scegliendo $p=0$ si ha :
\(\displaystyle u=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \)
Come è noto dalla teoria, l'autovettore $v_2$ richiesto è allora :
\(\displaystyle v_2=tv_1+u=t\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix} \)
La soluzione \(\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \) del sistema è pertanto data da :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =e^{2t}(Av_1+Bv_2)\)
dove A e B sono costanti da determinare in base alle condizioni iniziali.
Sostituendo i valori trovati per $v_1,v_2$ risulta :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =e^{2t}\left[A\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} +B\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix} \right]=e^{2t} \begin{pmatrix}A+Bt\\B\end{pmatrix} \)
Esplicitando, si ha infine:
\(\displaystyle \begin{cases}x=e^{2t}(A+Bt)\\y=Be^{2t}\end{cases} \)
Nei due casi particolari, indicati nel testo, dovresti trovare $A=1,B=0$ nel primo caso e $A=0,B=1$ nel secondo.
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