Applicazione della definizione di limite.

[Pasquale 90]

Buonasera,

Applicando la definizione di limite, verificare che $lim_(x to 1) (1-3^(-1/x))=2/3.$
Ricordo la definizione di limite del presente caso

$lim_(x to x_0) f(x)=l <=> forall epsilon>0, \ EE delta_(epsilon)>0 \:\ forall x in X\,\ 0<|x-x_0|

Sia $epsilon>0$
$|(1-3^(-1/x))-2/3||(1/3)^(1/x)-1/3| 1/3-epsilon<(1/3)^(1/x)<1/3+epsilon $
dall'arbitrarietà di $epsilon$, lo posso sciegliere $1/3>epsilon>0$ in modo tale da passare alla funzione logaritmica, quindi

$ log_(1/3)(1/3-epsilon)> 1/x> log_(1/3)(1/3+epsilon)<=>1/log_(1/3)(1/3+epsilon)

Ho un pò di difficolta con gli intorni, vorrei chiarire alcune aspetti;
1) lo svolgimento fin quì se è fatto bene
2) quando si presentano questi tipi di intorni, non dalla forma $x_0-delta_(epsilon)

Grazie spero in qualche aiuto.

Buona serata.

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Risposte

Overflow94

15 feb 2020, 21:57

In generale mi sembra tutto corretto ma ci sono due cose che hai detto che fanno storcere il naso:

"dall'arbitrarietà di $ε$, lo posso scegliere $1/3>ε>0$"

Stai dimostrando $ AA ε $, quindi non puoi scegliere niente ma bensì lo devi dimostrare per tutti i possibili valori.

All'atto pratico comunque è corretto limitarsi a valutare il caso $ a > ε> 0 $ in quanto se trovi $ delta_ε $ per $ ε < a $ allora uno qualsiasi fra i valori trovati di $ delta $ può essere usato per soddisfare la definizione anche per tutti gli $ ε >= a $. Probabilmente intendevi dire questo.

"quando si presentano questi tipi di intorni, non dalla forma $x_0−δ_ε
L'importante è che $ x_0 $ appartenga all'intervallo trovato. Infatti se $ x_0 in(a_epsi, b_epsi) $ e la proprietà vale per ogni $x$ appartenente all'intervallo, possiamo definire $ delta_epsi=min({x_0-a_epsi,b_epsi-x_0}) $ così da ricondurci nella forma richiesta dalla definizione.

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Pasquale 90

16 feb 2020, 09:57

Buongiorno,

"Overflow94":
All'atto pratico comunque è corretto limitarsi a valutare il caso $ a > ε> 0 $ in quanto se trovi $ delta_ε $ per $ ε < a $ allora uno qualsiasi fra i valori trovati di $ delta $ può essere usato per soddisfare la definizione anche per tutti gli $ ε >= a $. Probabilmente intendevi dire questo.

Volevo dire quello che ho scritto anche se sbagliavo, perchè nella pratica è corretto limitarsi a valuatare il caso $a>epsilon>0$, perchè se per $0<|x-x_0|$|f(x)-l| |f(x)-l|< omega$

in altre parole se $delta$ va bene per un certo $epsilon$ va bene anche per tutti quelli maggiori.

Invece il secondo punto, ci sono in maniera intuitiva, però ho un dubbio, se prendo un $delta_(epsilon)=min{(x_0-a_(epsilon),b_(epsilon)-x_0)}=x_0-a_(epsilon)$
adesso se sostituisco in $x_0 -delta_(epsilon) $a_(epsilon)
devo far vedere che $2-a_(epsilon) 2< b_(epsilon)+a_(epsilon)$ ?

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Overflow94

16 feb 2020, 10:33

Non mi torna quello che hai scritto per il secondo punto.

Mettiamo che tu abbia dimostrato che la proprietà vale per ogni $ x $ tale che $ a_epsi
Se $ x_0 $ appartiene all'intervallo $ (a_epsi, b_epsi ) $ possiamo prendere $ delta_epsi=min({x_0-a_epsi,b_epsi-x_0}) $ e vale la seguente:

$ a_epsi <= x_0-delta_epsi
La proprietà vale anche per gli $ x $ tali che $ x_0-delta_epsi < x < x_0+delta_epsi $ in quanto è un intervallo incluso in quello di partenza.

Dal punto di vista geometrico, immaginando l'intervallo come un segmento, ho preso la distanza dall'estremo più vicino a $x_0$ sia a destra che a sinistra in modo da rendere i nuovi estremi equidistanti da $x_0$, scartando il segmento in eccesso dalla parte dell'estremo più distante.

Nel caso specifico, provando a fare la costruzione descritta, escono disuguaglianze non immediate da risolvere ma è molto probabile (dipende dal contesto) che l'esercizio possa essere considerato risolto una volta trovato un intervallo che contiene $ x_0 $ come hai fatto. Oppure sono io che non vedo una possibile semplificazione più immediata.

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Pasquale 90

16 feb 2020, 12:20

"Overflow94":

$ a_epsi <= x_0-delta_epsi
La proprietà vale anche per gli $ x $ tali che $ x_0-delta_epsi < x < x_0+delta_epsi $ in quanto è un intervallo incluso in quello di partenza.

Ok

Provare con le maggiorazioni, la prima da sinistra verso destra, è semplice, infatti $log(x) < x $ per ogni $x in RR$, invece la seconda non so come maggiorarla.

Tuttavia l'esercizio è finito? Basta dire che la quantità $1/(log_(1/3)(1/3+epsilon))

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Overflow94

16 feb 2020, 14:35

"Pasquale 90":
Tuttavia l'esercizio è finito?

Secondo me si.

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Pasquale 90

16 feb 2020, 20:04

Buonasera Owerflow94,

ho ancora qualche dubbio circa sull'intorno determinato, mi spiego meglio come faccio a dire che effettivamente l'intorno da me determinato lo sia per davvero.
Quindi non si dovrebbe verificare la diseguaglianza?


Ciao

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[Overflow94]

In generale mi sembra tutto corretto ma ci sono due cose che hai detto che fanno storcere il naso:

"dall'arbitrarietà di $ε$, lo posso scegliere $1/3>ε>0$"

Stai dimostrando $ AA ε $, quindi non puoi scegliere niente ma bensì lo devi dimostrare per tutti i possibili valori.

All'atto pratico comunque è corretto limitarsi a valutare il caso $ a > ε> 0 $ in quanto se trovi $ delta_ε $ per $ ε < a $ allora uno qualsiasi fra i valori trovati di $ delta $ può essere usato per soddisfare la definizione anche per tutti gli $ ε >= a $. Probabilmente intendevi dire questo.

"quando si presentano questi tipi di intorni, non dalla forma $x_0−δ_ε
L'importante è che $ x_0 $ appartenga all'intervallo trovato. Infatti se $ x_0 in(a_epsi, b_epsi) $ e la proprietà vale per ogni $x$ appartenente all'intervallo, possiamo definire $ delta_epsi=min({x_0-a_epsi,b_epsi-x_0}) $ così da ricondurci nella forma richiesta dalla definizione.

[Pasquale 90]

Buongiorno,

"Overflow94":
All'atto pratico comunque è corretto limitarsi a valutare il caso $ a > ε> 0 $ in quanto se trovi $ delta_ε $ per $ ε < a $ allora uno qualsiasi fra i valori trovati di $ delta $ può essere usato per soddisfare la definizione anche per tutti gli $ ε >= a $. Probabilmente intendevi dire questo.

Volevo dire quello che ho scritto anche se sbagliavo, perchè nella pratica è corretto limitarsi a valuatare il caso $a>epsilon>0$, perchè se per $0<|x-x_0|$|f(x)-l| |f(x)-l|< omega$

[Overflow94]

Non mi torna quello che hai scritto per il secondo punto.

Mettiamo che tu abbia dimostrato che la proprietà vale per ogni $ x $ tale che $ a_epsi
Se $ x_0 $ appartiene all'intervallo $ (a_epsi, b_epsi ) $ possiamo prendere $ delta_epsi=min({x_0-a_epsi,b_epsi-x_0}) $ e vale la seguente:

$ a_epsi <= x_0-delta_epsi
La proprietà vale anche per gli $ x $ tali che $ x_0-delta_epsi < x < x_0+delta_epsi $ in quanto è un intervallo incluso in quello di partenza.

Dal punto di vista geometrico, immaginando l'intervallo come un segmento, ho preso la distanza dall'estremo più vicino a $x_0$ sia a destra che a sinistra in modo da rendere i nuovi estremi equidistanti da $x_0$, scartando il segmento in eccesso dalla parte dell'estremo più distante.

Nel caso specifico, provando a fare la costruzione descritta, escono disuguaglianze non immediate da risolvere ma è molto probabile (dipende dal contesto) che l'esercizio possa essere considerato risolto una volta trovato un intervallo che contiene $ x_0 $ come hai fatto. Oppure sono io che non vedo una possibile semplificazione più immediata.

[Pasquale 90]

"Overflow94":

$ a_epsi <= x_0-delta_epsi
La proprietà vale anche per gli $ x $ tali che $ x_0-delta_epsi < x < x_0+delta_epsi $ in quanto è un intervallo incluso in quello di partenza.

Ok

Provare con le maggiorazioni, la prima da sinistra verso destra, è semplice, infatti $log(x) < x $ per ogni $x in RR$, invece la seconda non so come maggiorarla.

Tuttavia l'esercizio è finito? Basta dire che la quantità $1/(log_(1/3)(1/3+epsilon))

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[Overflow94]

"Pasquale 90":
Tuttavia l'esercizio è finito?

Secondo me si.

[Pasquale 90]

Buonasera Owerflow94,

ho ancora qualche dubbio circa sull'intorno determinato, mi spiego meglio come faccio a dire che effettivamente l'intorno da me determinato lo sia per davvero.
Quindi non si dovrebbe verificare la diseguaglianza?


Ciao