Applicazione della definizione di continuità

[5mrkv]

Siano $K\subset \mathbb{R}^{n}$ compatto e $\Omega,\Omega'\subseteq \mathbb{R}^{n}$ aperti con $K \subset \Omega$ e $ \Omega '=\mathbb{R}^{n} \setminus \Omega$. Definisco una distanza funzione di $x \in K$ come $\overline{d}_{x}=\overline{d}(x,\Omega ')=\text{inf}d(x,y)$ al variare di $y \in \Omega '$. Supponiamo che sia effettivamente una distanza. Per $x,x' \in K$ e $y \in \Omega '$

$\overline{d}(x,\Omega ')<=d(x,y)$
$d(x,y)<=d(x,x')+d(x',y) \Rightarrow$ prendendo l'estremo superiore in $y$:
$\overline{d}(x,\Omega ')<=\overline{d}(x,x')+\overline{d}(x',\Omega ')$
$\overline{d}(x,\Omega ')-\overline{d}(x',\Omega ')<=\overline{d}(x,x') \in \mathbb{R}$

$\overline{d}(x',\Omega ')<=d(x',y)$
$d(x',y)<=d(x',x)+d(x,y) \Rightarrow$ prendendo l'estremo superiore in $y$:
$\overline{d}(x',\Omega ')<=\overline{d}(x',x)+\overline{d}(x,\Omega ')$
$\overline{d}(x',\Omega ')-\overline{d}(x,\Omega ')<=\overline{d}(x',x)\in \mathbb{R}$

Segue :

$d_{\mathbb{R}}(\overline{d}_{x},\overline{d}_{x'})=|\overline{d}(x',\Omega ')-\overline{d}(x,\Omega ')|<=\overline{d}(x',x) < L \in \mathbb{R}$

Vorrei capire perché ho dimostrato che $\forall \epsilon >0 \exists \delta >0\ :\ d_{\mathbb{R}}(f(x),f(x'))<\epsilon$ se $d_{K}(x,x')<\delta$. --edit--

[dissonance]

MMh che casino. Guarda, è molto più facile. Hai dimostrato che la funzione \(x\mapsto \overline{d}_x=d(x, \Omega')\) è Lipschitziana (e che \(1\) è una costante di Lipschitz). Quindi la funzione è anche continua. Fine.

Per informazioni molto semplici e accessibili sulle funzioni Lipschitziane e uniformemente continue dai una scorsa a questa pagina:

http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm

(dove si parla di funzioni reali di variabile reale, ma è immediato generalizzare a funzioni tra spazi metrici arbitrari).

[5mrkv]

Si, ho scritto un schifo. Guardando la definizione di Holderiana dovrebbe venire fuori:

$|f(x)-f(x_{0})|<=|x-x_{0}| $|f(x)-f(x_{0})| $|x-x_{0}|
allora $\forall \epsilon >0 \exists \delta >0 $ t.c. $|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$ se $|x-x_{0}|<\delta$

[dissonance]

Yes. Se una funzione è Lipschitziana di costante 1 allora puoi prendere \(\delta\) uguale ad \(\epsilon\).

[5mrkv]

"dissonance":Yes. Se una funzione è Lipschitziana di costante 1 allora puoi prendere \(\delta\) uguale ad \(\epsilon\).

$|f(x)-f(x_{0})|<=\alpha |x-x_{0}| $|f(x)-f(x_{0})| $\alpha|x-x_{0}| $|x-x_{0}|
?

[dissonance]

Non ho capito, che cosa vuoi sapere? Si, se una funzione è \(\alpha\)-Lipschitziana allora puoi prendere \(\delta=\epsilon /\alpha\). In ogni caso una funzione Lipschitziana (ma anche solo Hölderiana è sufficiente) è sempre uniformemente continua.

Questo era il dubbio?

[5mrkv]

Grazie : D