Applicazione del teorema ponte.
Buongiorno,
vorrei provare a verificare che il $lim_(x to 0) (sinx/x)=1$, applicando il teorema ponte.
Procedo per assurdo, per cui nego la tesi, ovvero:
negare il limite $lim_(x to 0) (sinx/x)=1$, consiste nel dire $exists epsilon_0>0$ tale che $forall delta_0>$, si abbia $|sinx/x-1| ge epsilon_0.$
Scelgo il $delta_0=1/n$
$forall n in mathbb{N}\ exists x_n :\ 0<|x_n-x_0|<1/n$ per quali risulti $ |sinx_n/x_n-1| ge epsilon_0.$
Ma si ha $0 ge |sinx_n/x_n-1| ge epsilon_0.$
Spero che a qualcuno non li venghi il mal di pancia
Buona giornata.
vorrei provare a verificare che il $lim_(x to 0) (sinx/x)=1$, applicando il teorema ponte.
Procedo per assurdo, per cui nego la tesi, ovvero:
negare il limite $lim_(x to 0) (sinx/x)=1$, consiste nel dire $exists epsilon_0>0$ tale che $forall delta_0>$, si abbia $|sinx/x-1| ge epsilon_0.$
Scelgo il $delta_0=1/n$
$forall n in mathbb{N}\ exists x_n :\ 0<|x_n-x_0|<1/n$ per quali risulti $ |sinx_n/x_n-1| ge epsilon_0.$
Ma si ha $0 ge |sinx_n/x_n-1| ge epsilon_0.$
Spero che a qualcuno non li venghi il mal di pancia
Buona giornata.
Risposte
Vedo che non ti sta rispondendo nessuno, purtroppo è sbagliatissimo quanto fai, è proprio senza capo né coda. Per prima cosa, devi dimostrare che esiste un epsilon_zero tale che **per ogni** \(\delta\) **esiste un \(x\)** in \( (-\delta, \delta)\) risulta che
\[
\left\lvert \frac{\sin x}{x}-1\right\rvert>\epsilon_0.\]
Leggi bene i quantificatori, è fondamentale. In particolare, NON PUOI "scegliere \(\delta_0=1/n\)".
\[
\left\lvert \frac{\sin x}{x}-1\right\rvert>\epsilon_0.\]
Leggi bene i quantificatori, è fondamentale. In particolare, NON PUOI "scegliere \(\delta_0=1/n\)".
Che poi nell'ultima disequazione hai ottenuto $0>=epsilon_0$, non ti sembra assurdo?
"Ernesto01":
Che poi nell'ultima disequazione hai ottenuto $0>=epsilon_0$, non ti sembra assurdo?
Era lo scopo Ernesto...
@Dissonance Non ho capito perchè non possa prende 1/n
Buongiorno a tutti, grazie per le risposte.
In sintesi tralasciando la seconda parte cioè, dopo la scelta del $delta=1/n$, quello che volevo fare era di maggiorare la diseguaglianza $|sinx/x-1| ge epsilon_0$ ed arrivare all'assurdo, tutto quì.
Rivedendo, ottengo:
$0
Quindi ora dovrei fissarmi un epsilon nell'intervallo di sopra, è risolvere la disequazione ?
Ciao
In sintesi tralasciando la seconda parte cioè, dopo la scelta del $delta=1/n$, quello che volevo fare era di maggiorare la diseguaglianza $|sinx/x-1| ge epsilon_0$ ed arrivare all'assurdo, tutto quì.
Rivedendo, ottengo:
$0
Quindi ora dovrei fissarmi un epsilon nell'intervallo di sopra, è risolvere la disequazione ?
Ciao
È un po' che non vedo cose di analisi 1, ma qual'è il teorema ponte? Provo a ragionarci con la topologia.
Se \(c\) non è limite della funzione \(f\) in \(0\), allora esiste un intorno aperto \(U\) di \(0\) tale che \(\overline{f(U)}\cap\{c\} = \emptyset\). Per portarmi alla notazione \(\epsilon\)-\(\delta\) passo alla notazione metrica. Se \(c\) non è limite della funzione \(f\) in \(0\), allora esiste un intorno aperto \(U\) di \(0\) tale che \(d( \overline{f(U)}, c) \ge \epsilon_0 > 0 \). Siccome \(d(\overline{f(V)}, c) \ge d(\overline{f(U)}, c)\) per ogni \(V\subset U\) allora direi che esistono un \(\epsilon_0\) e un \(\delta_0\) tali che \(\vert f(x) - c\rvert > \epsilon_0\) per ogni \(x\in (-\delta_0, \delta_0)\). Nota che se si sceglie \(\delta > \delta_0\) non è detto che la distanza da \(c\) cresca, mentre è evidente che la distanza cresca o rimanga uguale se si sceglie un \(\delta\) più piccolo.
Se \(c\) non è limite della funzione \(f\) in \(0\), allora esiste un intorno aperto \(U\) di \(0\) tale che \(\overline{f(U)}\cap\{c\} = \emptyset\). Per portarmi alla notazione \(\epsilon\)-\(\delta\) passo alla notazione metrica. Se \(c\) non è limite della funzione \(f\) in \(0\), allora esiste un intorno aperto \(U\) di \(0\) tale che \(d( \overline{f(U)}, c) \ge \epsilon_0 > 0 \). Siccome \(d(\overline{f(V)}, c) \ge d(\overline{f(U)}, c)\) per ogni \(V\subset U\) allora direi che esistono un \(\epsilon_0\) e un \(\delta_0\) tali che \(\vert f(x) - c\rvert > \epsilon_0\) per ogni \(x\in (-\delta_0, \delta_0)\). Nota che se si sceglie \(\delta > \delta_0\) non è detto che la distanza da \(c\) cresca, mentre è evidente che la distanza cresca o rimanga uguale se si sceglie un \(\delta\) più piccolo.
Intanto, io sconsiglio di usare la dicitura "teorema ponte", è bruttissima e usata solo in pochi testi universitari, tutti italiani; prova a cercare "bridge theorem" e vedrai che viene fuori completamente un'altra cosa. (Se ne è parlato svariate volte sul forum, anche molti anni fa).
In ogni caso, se vuoi usare questo teorema per dimostrare che \(\frac{\sin x}{x}\to 1\) per \(x\to 0\), dovresti riuscire a dimostrare che, comunque tu prenda una successione \(x_n\) che tende a \(0\), la successione \(\sin(x_n)/x_n\) tende a \(1\). Questa cosa è piuttosto difficile, e sicuramente non è più facile che usare direttamente la definizione di limite. Quindi, scordiamoci del "teorema ponte", a mio avviso.
Ora, tu vuoi dimostrare che
\[\left\lvert \frac{\sin x}{x}-1\right\rvert \ge \epsilon_0, \]
implica che \(|x|\ge \delta_0(\epsilon_0)\). Bene: se riesci a farlo, hai dimostrato che il tuo limite vale \(1\).
Aggiungo che, nel primo post, a un certo punto arrivi alla disuguaglianza
\[
\left\lvert \frac{\sin x}{x}-1\right\rvert\le 0, \]
che dovrebbe farti suonare un campanello di allarme; un valore assoluto può essere minore o uguale a zero se e solo se il suo argomento è zero. Un errore così può essere valutato molto negativamente ad un esame; attenzione.
In ogni caso, se vuoi usare questo teorema per dimostrare che \(\frac{\sin x}{x}\to 1\) per \(x\to 0\), dovresti riuscire a dimostrare che, comunque tu prenda una successione \(x_n\) che tende a \(0\), la successione \(\sin(x_n)/x_n\) tende a \(1\). Questa cosa è piuttosto difficile, e sicuramente non è più facile che usare direttamente la definizione di limite. Quindi, scordiamoci del "teorema ponte", a mio avviso.
Ora, tu vuoi dimostrare che
\[\left\lvert \frac{\sin x}{x}-1\right\rvert \ge \epsilon_0, \]
implica che \(|x|\ge \delta_0(\epsilon_0)\). Bene: se riesci a farlo, hai dimostrato che il tuo limite vale \(1\).
Aggiungo che, nel primo post, a un certo punto arrivi alla disuguaglianza
\[
\left\lvert \frac{\sin x}{x}-1\right\rvert\le 0, \]
che dovrebbe farti suonare un campanello di allarme; un valore assoluto può essere minore o uguale a zero se e solo se il suo argomento è zero. Un errore così può essere valutato molto negativamente ad un esame; attenzione.
Si, scordiamoci del teorema ponte "per il momento".
la relazione suddetta è falsa, ovvio, era lo scopo per arrivare all'assurdo, ma risulta nello stesso tempo errata anche il modo in cui me la sono ricavata, perchè avevo supposto:
$forall x in mathbb{R}$, $|sinx/x-1| le |x/x-1|=|1-1|=0$
se non è cosi c'è qualcosa che non mi è chiaro.
Provo prima con una funzione più semplice, per indivuduare qualora ci fosse, l'errore :
considero $lim_(x to 0) sinx=0$
suppongo per assurdo che non sia cosi, quindi,
$exists epsilon_0>0, forall delta>0 : exists x in (-delta,+delta)$ in modo che si abbia $|sinx| ge epsilon_0$.
$|sinx| ge epsilon_0$ implica che $sinx le -epsilon_0 vee sinx ge epsilon_0$.
Considerando le soluzioni in $[0,2pi]$, ed $epsilon_0>0$ ottengo:
$sinx le -epsilon_0$
$sin^-1(-epsilon_0)=a to [pi+a le x le 2pi-a]=I'$
$sinx ge epsilon_0$
$sin^-1(epsilon_0)=b to [ble x le pi-b]=I'' $
A questo punto non so come procedere, dovrei prendere l'intervallo minore tra $I'$ e $I''$ ?
"dissonance":
Aggiungo che, nel primo post, a un certo punto arrivi alla disuguaglianza
\[ \left\lvert \frac{\sin x}{x}-1\right\rvert\le 0, \]
che dovrebbe farti suonare un campanello di allarme; un valore assoluto può essere minore o uguale a zero se e solo se il suo argomento è zero. Un errore così può essere valutato molto negativamente ad un esame; attenzione.
la relazione suddetta è falsa, ovvio, era lo scopo per arrivare all'assurdo, ma risulta nello stesso tempo errata anche il modo in cui me la sono ricavata, perchè avevo supposto:
$forall x in mathbb{R}$, $|sinx/x-1| le |x/x-1|=|1-1|=0$
se non è cosi c'è qualcosa che non mi è chiaro.
Provo prima con una funzione più semplice, per indivuduare qualora ci fosse, l'errore :
considero $lim_(x to 0) sinx=0$
suppongo per assurdo che non sia cosi, quindi,
$exists epsilon_0>0, forall delta>0 : exists x in (-delta,+delta)$ in modo che si abbia $|sinx| ge epsilon_0$.
$|sinx| ge epsilon_0$ implica che $sinx le -epsilon_0 vee sinx ge epsilon_0$.
Considerando le soluzioni in $[0,2pi]$, ed $epsilon_0>0$ ottengo:
$sinx le -epsilon_0$
$sin^-1(-epsilon_0)=a to [pi+a le x le 2pi-a]=I'$
$sinx ge epsilon_0$
$sin^-1(epsilon_0)=b to [ble x le pi-b]=I'' $
A questo punto non so come procedere, dovrei prendere l'intervallo minore tra $I'$ e $I''$ ?
Hai un buon metodo, considerare prima un caso più semplice, è quello che farebbe un matematico davanti ad un problema nuovo.
Quanto al primo problema, è vero che \(|\sin x|\le |x|\) ma non puoi portare questa disuguaglianza dentro un valore assoluto; ovvero, non puoi dire che
\[\tag{!!!}
\left| \frac{\sin x}{x}-1\right\rvert \le \left| \frac{x}{x}-1\right\rvert.\]
Quanto al secondo problema, dovresti considerare l'intervallo \([-\pi, \pi]\), perché ti devi mettere in un intorno di \(0\). Due commenti:
1- ti stai complicando la vita con questa dimostrazione per assurdo, non è più semplice studiare direttamente \(|\sin x|<\epsilon\)? Ovvero, l'esercizio standard di dimostrare una relazione di limite mediante la definizione.
2- tra un po' ti accorgerai che ragionando così finisci in un circolo, perché devi introdurre la funzione arcoseno (ovvero \(\sin^{-1}\)), e ti serviranno informazioni su di essa; ma per avere tali informazioni devi sapere quanto fa \(\lim_{x\to 0}\sin x\)...
Tutto questo ti porterà a riscoprire gli sviluppi di Taylor.
Quanto al primo problema, è vero che \(|\sin x|\le |x|\) ma non puoi portare questa disuguaglianza dentro un valore assoluto; ovvero, non puoi dire che
\[\tag{!!!}
\left| \frac{\sin x}{x}-1\right\rvert \le \left| \frac{x}{x}-1\right\rvert.\]
Quanto al secondo problema, dovresti considerare l'intervallo \([-\pi, \pi]\), perché ti devi mettere in un intorno di \(0\). Due commenti:
1- ti stai complicando la vita con questa dimostrazione per assurdo, non è più semplice studiare direttamente \(|\sin x|<\epsilon\)? Ovvero, l'esercizio standard di dimostrare una relazione di limite mediante la definizione.
2- tra un po' ti accorgerai che ragionando così finisci in un circolo, perché devi introdurre la funzione arcoseno (ovvero \(\sin^{-1}\)), e ti serviranno informazioni su di essa; ma per avere tali informazioni devi sapere quanto fa \(\lim_{x\to 0}\sin x\)...
Tutto questo ti porterà a riscoprire gli sviluppi di Taylor.
"dissonance":
Hai un buon metodo, considerare prima un caso più semplice, è quello che farebbe un matematico davanti ad un problema nuovo.
mi sono commosso, grazie
Mi stai dicendo che dovrei sviluppare la funzione $sinx$ in un intorno di $0$, per ottenere un approssimazione della funzione all'interno del valore assoluto, se è cosi ci sono, basta che mi fermo al primo ordine ed ottengo un assurdo, cosi ?
Si, ma se hai una approssimazione di Taylor non ti serve ragionare per assurdo. Ragiona in modo diretto. Quando si può, è sempre meglio un ragionamento diretto che uno per assurdo.
Va bene 
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