Applicazione del teorema di Picard per Serie
Il primo teorema di Picard per serie di potenze complesse afferma che:
Se i coefficienti ${a_k}_k $ della serie di potenze $sum_{k=0}^{\infty}a_k*z^k$ sono tali che:
-$a_k \in R^+ \forall k \in N $
-$a_k>=a_(k+1) \forall k \in N $
-$lim_k a_k=0$
allora la serie converge in tutti i punti della circonferenza $\Gamma(0,1) $ di centro 0 e raggio1, escluso al più $ z=+1$
Adesso i teoremi di picard sono applicabili a serie di potenze di punto iniziale $z_0$ qualsiasi e/o raggio di convergenza $\rho$ qualsiasi purchè
si opera una traslazione $w=z-z0$ e/o un omotetia $ \zeta=w/\rho$.
Esempio: $sum_{k=0}^{\infty} (z-i)^k/( (k+1)^2*7^k) $ , tale serie ha raggio di convergenza $\rho=7$
La traslazione $w=z-i$ porta l'origine del cerchio di convergenza in $i$, l'omotetia $\zeta=w/7$ trasforma il cerchio di convergenza in quello unitario.
Si ottiene così la serie $sum_{k=0}^{\infty} \zeta^k/(k+1)^2$ , a tale serie si applica il teorema di Picard prima enunciato, per cui si conclude che la serie originaria converge sulla frontiera.
Adesso quello che chiedo è: poichè il teorema di picard vale per circonferenza $\Gamma(0,1)$ cioè di centro 0 e raggio 1 e poichè quest' ultima serie ha centro $i$ per mezzo della traslazione che porta l'origine della serie di partenza in $i$, come è possibile applicare il teorema di picard ? Inoltre perchè vale anche per la serie originaria,( nel senso che adesso non stiamo parlando più della serie di partenza in quanto abbiamo apportato delle modifiche )?
Se i coefficienti ${a_k}_k $ della serie di potenze $sum_{k=0}^{\infty}a_k*z^k$ sono tali che:
-$a_k \in R^+ \forall k \in N $
-$a_k>=a_(k+1) \forall k \in N $
-$lim_k a_k=0$
allora la serie converge in tutti i punti della circonferenza $\Gamma(0,1) $ di centro 0 e raggio1, escluso al più $ z=+1$
Adesso i teoremi di picard sono applicabili a serie di potenze di punto iniziale $z_0$ qualsiasi e/o raggio di convergenza $\rho$ qualsiasi purchè
si opera una traslazione $w=z-z0$ e/o un omotetia $ \zeta=w/\rho$.
Esempio: $sum_{k=0}^{\infty} (z-i)^k/( (k+1)^2*7^k) $ , tale serie ha raggio di convergenza $\rho=7$
La traslazione $w=z-i$ porta l'origine del cerchio di convergenza in $i$, l'omotetia $\zeta=w/7$ trasforma il cerchio di convergenza in quello unitario.
Si ottiene così la serie $sum_{k=0}^{\infty} \zeta^k/(k+1)^2$ , a tale serie si applica il teorema di Picard prima enunciato, per cui si conclude che la serie originaria converge sulla frontiera.
Adesso quello che chiedo è: poichè il teorema di picard vale per circonferenza $\Gamma(0,1)$ cioè di centro 0 e raggio 1 e poichè quest' ultima serie ha centro $i$ per mezzo della traslazione che porta l'origine della serie di partenza in $i$, come è possibile applicare il teorema di picard ? Inoltre perchè vale anche per la serie originaria,( nel senso che adesso non stiamo parlando più della serie di partenza in quanto abbiamo apportato delle modifiche )?
Risposte
Ti sei risposto già da solo...
jaaa per piacere aiutami ..
Chiedi: "Perché il teorema di Picard vale per il cerchio unitario?"
Risposta: "Perché nell'enunciato c'è il cerchio unitario e non un altro cerchio."
Chiedi: "Perché il teorema di Picard vale anche per altri cerchi?"
Risposta: "Perché puoi sempre usare una traslazione ed un'omotetia per riportare il cerchio di convergenza della tua serie nel cerchio unitario."
C'è già tutto nel tuo post.
Risposta: "Perché nell'enunciato c'è il cerchio unitario e non un altro cerchio."
Chiedi: "Perché il teorema di Picard vale anche per altri cerchi?"
Risposta: "Perché puoi sempre usare una traslazione ed un'omotetia per riportare il cerchio di convergenza della tua serie nel cerchio unitario."
C'è già tutto nel tuo post.
no fai attenzione, io alla fine dico,che facendo una traslazione e un omotetia porto la circonferenza di partenza con centro in $i$ ma il teorema vale per la circonferenza con centro in 0. allora mi chiedo com'è possibile che valga?
seconda domanda: la serie di partenza ha un raggio di convergenza pari a 7, se faccio la traslazione e l'omotetia , perchè dopo queste operazioni posso dire che anche per la serie di partenza che non ha raggio 1, vale il teorema di picard? mi spiego?
ps ho riscritto meglio le domande alla fine del primo post
seconda domanda: la serie di partenza ha un raggio di convergenza pari a 7, se faccio la traslazione e l'omotetia , perchè dopo queste operazioni posso dire che anche per la serie di partenza che non ha raggio 1, vale il teorema di picard? mi spiego?
ps ho riscritto meglio le domande alla fine del primo post
Continuo a non capire.
La tua serie iniziale converge in \(D(\imath;7):=\{z\in \mathbb{C}:\ |z-\imath|<7\}\).
La traslazione \(w:= z-\imath\) seguita dall'omotetia \(\zeta :=\frac{1}{7} w\) portano \(D(\imath;7)\) in \(D(0;1)\): infatti si ha:
\[
z\in D(\imath ;7) \ \Leftrightarrow \ |w|<7 \ \Leftrightarrow \ w\in D(0;7) \ \Leftrightarrow \ |\zeta |<1 \ \Leftrightarrow \ \zeta \in D(0;1)
\]
ossia:
\[
z\in D(\imath ;7)\ \Leftrightarrow \ \zeta=\frac{z-\imath}{7}\in D(0;1)\; .
\]
Quindi la serie ausiliaria in \(\zeta\) ha cerchio di convergenza il disco unitario \(D(0;1)\), ossia ha raggio di convergenza unitario.
Ed anzi, puoi dire di più: cioè che le tua serie converge in un certo \(z\) se e solo se la serie ausiliaria converge in \(\zeta = \frac{z-\imath}{7}\).
Ora, alla serie ausiliaria applichi Picard e vedi che essa converge anche sulla frontiera del disco, cioè converge anche per \(|\zeta|=1\).
Ma allora, facendo le trasformazioni al contrario, trovi che:
\[
|\zeta| =1\ \Leftrightarrow \ \left| \frac{z-\imath}{7} \right| =1 \ \Leftrightarrow \ |z-\imath|=7
\]
sicché i punti della frontiera del cerchio \(D(\imath ;7)\) sono punti di convergenza per la serie assegnata.
La tua serie iniziale converge in \(D(\imath;7):=\{z\in \mathbb{C}:\ |z-\imath|<7\}\).
La traslazione \(w:= z-\imath\) seguita dall'omotetia \(\zeta :=\frac{1}{7} w\) portano \(D(\imath;7)\) in \(D(0;1)\): infatti si ha:
\[
z\in D(\imath ;7) \ \Leftrightarrow \ |w|<7 \ \Leftrightarrow \ w\in D(0;7) \ \Leftrightarrow \ |\zeta |<1 \ \Leftrightarrow \ \zeta \in D(0;1)
\]
ossia:
\[
z\in D(\imath ;7)\ \Leftrightarrow \ \zeta=\frac{z-\imath}{7}\in D(0;1)\; .
\]
Quindi la serie ausiliaria in \(\zeta\) ha cerchio di convergenza il disco unitario \(D(0;1)\), ossia ha raggio di convergenza unitario.
Ed anzi, puoi dire di più: cioè che le tua serie converge in un certo \(z\) se e solo se la serie ausiliaria converge in \(\zeta = \frac{z-\imath}{7}\).
Ora, alla serie ausiliaria applichi Picard e vedi che essa converge anche sulla frontiera del disco, cioè converge anche per \(|\zeta|=1\).
Ma allora, facendo le trasformazioni al contrario, trovi che:
\[
|\zeta| =1\ \Leftrightarrow \ \left| \frac{z-\imath}{7} \right| =1 \ \Leftrightarrow \ |z-\imath|=7
\]
sicché i punti della frontiera del cerchio \(D(\imath ;7)\) sono punti di convergenza per la serie assegnata.
nelle slide e sul libro fa vedere che l'origine del campo di convergenza viene traslata in i non in 0. ovvero $w=z-i$ porta l'origine in i secondo il libro , non in 0.
Testuali parole : la traslazione w=z-i ,porta l'origine nel punto iniziale della serie ..
Testuali parole : la traslazione w=z-i ,porta l'origine nel punto iniziale della serie ..
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