Applicazione del Teorema di Fubini

[erak]

Ciao a tutti! vi chiedo se qualcuno riesce a spiegarmi perché
\[
\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^pdx=p\int_0^\infty t^{p-1}|\{x\in R^n:|u(x)|>t\}|dt
\]
dove $|E|$ sta per la misura di Lebesgue di $E$ e $u$ è una funzione a valori reali. Mi si dice che è una semplice applicazione del teorema di Fubini, ma non ho ben chiaro il perché.
Grazie!!

[miciomatta]

io ho fatto un esercizio simile con X generico al posto di R^n
poni |u(x)|^p =g sai che l'integrale su X di g (g è positiva) = l'integrale tra 0 e + infinito della misura di {g>t} in dt

ora osservo che la misura {g>t}= misura di {|f|^p>t} = misura di {|f|>t^(1/p)}
ora calcoli l'integrale tra 0 e piu infinito di {|f|>t^(1/p)} in dt...ora fai la sostituzione s=t^(1/p) e ti viene propriola seconda parte solo tutto con s..^^ lo so scritto così è incasinatissimo...

[erak]

Grazie mille! devo solo convincermi che $|\{ |f|^p>t\}=|\{|f|>t^{1/p}\}|$. Poi il fatto che int di g è uguale a int da 0 a inf di {g>t} è la cosiddetta layer-cake? comunque grazie, la sostituzione torna!

[miciomatta]

mi spiace non conosco questa layer-cake ^^
per il passaggio che non ti convince io ho fatto semplicemente un "elevamento" alla 1/p da entrambe le parti però non so se è corretto al cento per cento!!! chiedi comunque in giro!!!

[miciomatta]

io quello che chiami"layer cake" ce l'ho come regola che si applica alla funzione di distribuzione (funzionedi distribuzione di f= misura di{f>t})

[gugo82]

"erak":Ciao a tutti! vi chiedo se qualcuno riesce a spiegarmi perché:
\[
\int_{\mathbb{R}^n} |u(x)|^p\ \text{d} x = p\ \int_0^\infty t^{p-1}\ \Big| \{x\in \mathbb{R}^n:\ |u(x)|>t\}\Big|\ \text{d} t
\]
dove $|E|$ sta per la misura di Lebesgue di $E$ e $u$ è una funzione a valori reali. Mi si dice che è una semplice applicazione del teorema di Fubini, ma non ho ben chiaro il perché.

Ed in effetti chi te lo dice ha ragione.

Infatti, dato che:
\[
\begin{split}
|u(x)|^p &= \int_0^{|u(x)|^p} 1\ \text{d} \tau \\
&= \int_0^\infty \chi_{]0,|u(x)|^p[}(\tau )\ \text{d} \tau
\end{split}
\]
(ove \(\chi_{]0,|u(x)|^p[} (\cdot )\) è la funzione caratteristica di \(]0,|u(x)|^p[\)), hai:
\[
\tag{1}
\int_{\mathbb{R}^n} |u(x)|^p\ \text{d} x = \int_{\mathbb{R}^n} \left( \int_0^\infty \chi_{]0,|u(x)|^p[} (\tau)\ \text{d} \tau \right)\ \text{d} x\; ;
\]
l'integrale al primo membro di (1) è finito e ciò importa che l'integrale iterato che figura al secondo membro di (1) è finito: perciò il teorema di Fubini-Tonelli consente di scambiare gli ordini d'integrazione e scrivere:
\[
\tag{2}
\int_{\mathbb{R}^n} |u(x)|^p\ \text{d} x = \int_0^\infty \left( \int_{\mathbb{R}^n} \chi_{]0,|u(x)|^p[}(\tau )\ \text{d} x\right)\ \text{d} \tau \; .
\]
Ma è:
\[
\begin{split}
\chi_{]0,|u(x)|^p[} (\tau ) &:= \begin{cases} 1 &\text{, se } 0 < \tau < |u(x)|^p \\ 0 &\text{, se } |u(x)|^p \leq \tau \end{cases}\\
&= \begin{cases} 1 &\text{, se } 0 < \tau^{1/p} < |u(x)| \\ 0 &\text{, se } |u(x)| \leq \tau^{1/p} \end{cases}
\end{split}
\]
quindi:
\[
\tag{3}
\int_{\mathbb{R}^n} \chi_{]0,|u(x)|^p[} (\tau )\ \text{d} x = \Big| \{ |u(x)|>\tau ^{1/p}\}\Big|
\]
ed inserendo (3) in (2) si trova:
\[
\int_{\mathbb{R}^n} |u(x)|^p\ \text{d} x = \int_0^\infty \Big| \{ |u(x)|>\tau ^{1/p}\}\Big|\ \text{d} \tau \; ;
\]
facendo infine la sostituzione \(\tau =t^p\) nell'ultimo membro della precedente, si ottiene:
\[
\int_{\mathbb{R}^n} |u(x)|^p\ \text{d} x = p\ \int_0^\infty t^{p-1}\ \Big| \{ |u(x)|>t \}\Big|\ \text{d} t
\]
che è la formula cercata.

[erak]

grazie mille gugo82! sei stato chiarissimo, in effetti si usa la formula che io ho chiamato layer cake, cioe' l'utilizzo dell'integrale della funzione caratteristica per una funzione

[gugo82]

Prego.

Ah... Inoltre, si può anche fare a meno di fare quel cambiamento di variabile nell'ultimo integrale: basta procedere in modo un po' più attento.

Infatti è:
\[
|u(x)|^p = p\ \int_0^{|u(x)|} t^{p-1}\ \text{d} t
\]
e quindi, ragionando come sopra, si ottiene:
\[
\begin{split}
\int_{\mathbb{R}^n} |u(x)|^p\ \text{d} x & = p\ \int_{\mathbb{R}^n} \left( \int_0^{|u(x)|} t^{p-1}\ \text{d} t\right)\ \text{d} x\\
&= p\ \int_{\mathbb{R}^n} \left( \int_0^\infty t^{p-1}\ \chi_{]0,|u(x)|[} (t)\ \text{d} t\right)\ \text{d} x\\
&= p\ \int_0^\infty t^{p-1}\ \left( \int_{\mathbb{R}^n} \chi_{]0,|u(x)|[} (t)\ \text{d} x\right)\ \text{d} t\\
&= p\ \int_0^\infty t^{p-1}\ \Big| \{ |u(x)|>t \}\Big|\ \text{d} t\; ,
\end{split}
\]
come volevasi.