Applicazione del Teorema di Fubini

erak
Ciao a tutti! vi chiedo se qualcuno riesce a spiegarmi perché
\[
\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^pdx=p\int_0^\infty t^{p-1}|\{x\in R^n:|u(x)|>t\}|dt
\]
dove $|E|$ sta per la misura di Lebesgue di $E$ e $u$ è una funzione a valori reali. Mi si dice che è una semplice applicazione del teorema di Fubini, ma non ho ben chiaro il perché.
Grazie!!

Risposte
miciomatta
io ho fatto un esercizio simile con X generico al posto di R^n
poni |u(x)|^p =g sai che l'integrale su X di g (g è positiva) = l'integrale tra 0 e + infinito della misura di {g>t} in dt

ora osservo che la misura {g>t}= misura di {|f|^p>t} = misura di {|f|>t^(1/p)}
ora calcoli l'integrale tra 0 e piu infinito di {|f|>t^(1/p)} in dt...ora fai la sostituzione s=t^(1/p) e ti viene propriola seconda parte solo tutto con s..^^ lo so scritto così è incasinatissimo...

erak
Grazie mille! devo solo convincermi che $|\{ |f|^p>t\}=|\{|f|>t^{1/p}\}|$. Poi il fatto che int di g è uguale a int da 0 a inf di {g>t} è la cosiddetta layer-cake? comunque grazie, la sostituzione torna! ;)

miciomatta
mi spiace non conosco questa layer-cake ^^
per il passaggio che non ti convince io ho fatto semplicemente un "elevamento" alla 1/p da entrambe le parti però non so se è corretto al cento per cento!!! chiedi comunque in giro!!!

miciomatta
io quello che chiami"layer cake" ce l'ho come regola che si applica alla funzione di distribuzione (funzionedi distribuzione di f= misura di{f>t})

gugo82
"erak":
Ciao a tutti! vi chiedo se qualcuno riesce a spiegarmi perché:
\[
\int_{\mathbb{R}^n} |u(x)|^p\ \text{d} x = p\ \int_0^\infty t^{p-1}\ \Big| \{x\in \mathbb{R}^n:\ |u(x)|>t\}\Big|\ \text{d} t
\]
dove $|E|$ sta per la misura di Lebesgue di $E$ e $u$ è una funzione a valori reali. Mi si dice che è una semplice applicazione del teorema di Fubini, ma non ho ben chiaro il perché.

Ed in effetti chi te lo dice ha ragione.

erak
grazie mille gugo82! sei stato chiarissimo, in effetti si usa la formula che io ho chiamato layer cake, cioe' l'utilizzo dell'integrale della funzione caratteristica per una funzione

gugo82
Prego.

Ah... Inoltre, si può anche fare a meno di fare quel cambiamento di variabile nell'ultimo integrale: basta procedere in modo un po' più attento.

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