Applicazione del Teorema di Fubini

[fifty_50]

Buongiorno a tutti, il prof. a lezione ci ha presentato il seguente esercizio:

"Sia $mu$ una misura su $R^+$ e sia $Y_t=int_0^tX_smu(ds)$. Assumendo che $X$ sia un moto Browniano, calcolare la varianza $sigma_t^2$ di $Y_t$.

Denotata con $K_(s,t)=int_0^tdmu(u)int_0^smin(u,v)dmu(v)$ la funzione di covarianza, si ha che $sigma_t^2=K_(t,t)=I_2+I_2$ con $I_1=int_0^tdmu(u)int_0^uvdmu(v)$ e con $I_2=int_0^tdmu(u)int_u^tudmu(v)$ " e fin qui, effettuando gli opportuni passaggi mi è tutto chiaro.

I miei dubbi sorgono quando il prof. afferma che:

"per il Teorema di Fubini si ha $I_2=int_0^tdmu(v)int_0^vudmu(u)=I_1$" e quindi $sigma_t^2=2I_1$"

Non riesco a capire in che modo sia stato applicato il teorema al fine di ottenere quest'uguaglianza

C'è qualcuno che potrebbe aiutarmi?

[pilloeffe]

"fifty_50":si ha che $ \sigma_t^2 = K_(t, t) =I_2 + I_2 $ con [...]

Immagino che tu intenda

$ \sigma_t^2 = K_(t, t) = I_1 + I_2 = \int_0^t \text{d}\mu(u)\int_0^u v \text{d}\mu(v) + \int_0^t \text{d}\mu(u)\int_u^t u \text{d}\mu(v) $

"fifty_50":"per il Teorema di Fubini si ha $I_2=\int_0^t d\mu(v)\int_0^v ud\mu(u) = I_1 $ e quindi $\sigma_t^2 = 2I_1 $"

Dovrebbe essere vero che si ha:

$I_2 := \int_0^t \text{d}\mu(u)\int_u^t u \text{d}\mu(v) = \int_0^t \text{d}\mu(v)\int_0^v u \text{d}\mu(u) $

In effetti è vero perché le due regioni

$D := {(u, v) \in \RR_{\ge 0}^2 : 0 \le u \le t, u \le v \le t} $

e

$D' := {(u, v) \in \RR_{\ge 0}^2 : 0 \le v \le t, 0 \le u \le v} $

di fatto coincidono (lo si può verificare anche con un disegno).

[fifty_50]

"pilloeffe":[quote="fifty_50"]si ha che $ \sigma_t^2 = K_(t, t) =I_2 + I_2 $ con [...]

Immagino che tu intenda

$ \sigma_t^2 = K_(t, t) = I_1 + I_2 = \int_0^t \text{d}\mu(u)\int_0^u v \text{d}\mu(v) + \int_0^t \text{d}\mu(u)\int_u^t u \text{d}\mu(v) $

"fifty_50":"per il Teorema di Fubini si ha $I_2=\int_0^t d\mu(v)\int_0^v ud\mu(u) = I_1 $ e quindi $\sigma_t^2 = 2I_1 $"

Dovrebbe essere vero che si ha:

$I_2 := \int_0^t \text{d}\mu(u)\int_u^t u \text{d}\mu(v) = \int_0^t \text{d}\mu(v)\int_0^v u \text{d}\mu(u) $

In effetti è vero perché le due regioni

$D := {(u, v) \in \RR_{\ge 0}^2 : 0 \le u \le t, u \le v \le t} $

e

$D' := {(u, v) \in \RR_{\ge 0}^2 : 0 \le v \le t, 0 \le u \le v} $

di fatto coincidono (lo si può verificare anche con un disegno).[/quote]

Giusto, ora mi trovo!!! Grazie infinite