Applicazione del teorema di &eU di Cauchy

[fabiostyle91]

Ciao a tutti, dovrei studiare il seguente problema di Cauchy e dire se la soluzione è definita in tutto R:
${ ( y' = root(3)(1 + ( sin x)^(2) + (y)^(2) )),( y(0) = 1 ):}$

Applicando il teorema di esistenza ed unicità GLOBALE di Cauchy devo vedere se è lipschitziana; applicando il corollario però posso vedere se la derivata parziale rispetto alla y è limitata:

$(del f)/(del y) =(-2y) / ( 3root(3)( (1 + ( sin x)^(2) + y^(2))^(2)))$

Adesso ho pensato: è continua in tutto $RR$; il denominatore è sempre positivo, dipende dalla $x$ solo per una funzione intrinsecamente limitata tra $0$ ed $1$ (seno al quadrato); rispetto alla y se faccio tendere a più o meno infinito la funzione tende a zero in entrambi i casi; dal problema di cauchy imposto, nell'origine vedo che è una quantità finita.
Per tutte queste motivazioni, per la continuità della funzione posso dire che è limitata?
Inoltre noto che quando $y>0$ è sempre negativa, quando $y<0$ è sempre positiva.

Però oltre questo ragionamento non saprei dire come possa essere limitata. Qualcuno ha qualche idea?

[Principe2]

Quello che dici e' un po' caotico, ma corretto: una funzione continua su $\RR$ i cui limiti a $+\infty$ e $-infty$ sono nulli deve essere limitata.

[fabiostyle91]

Cioè quindi in definitiva non c'era un altro modo per dire che era limitata? Avrei fatto (quasi) bene?

[Principe2]

Hai fatto bene, punto. Volevo solo dire che non c'e' bisogno di dire tutte quelle cose. Basta dire che la derivata e' continua e ammette limite finito agli estremi del dominio e quindi e' limitata.

[fabiostyle91]

okok! Meglio dire qualcosa in più che in meno :p Grazie ancora per la sicurezza