Applicazione del teorema della Divergenza
Salve a tutti.
Sono nuovo di questo forum, e già chiedo aiuto!
Il problema è questo:
- ho il campo F(x,y,z) = ( $ x^2*y*z , x*y^2*z , x*y*z^2 $ )
Devo calcolarne il flusso attraverso una superficie $ sigma $ il cui sostegno è { $ x>=0 , y>=0 , 0<=z<=5 $ e $ x^2+y^2+z=9 $ }.
Ora, come si evince dal titolo del topic, volevo risolvere il problema applicando Gauss - Teo della Divergenza.
Tale Divergenza facilmente si vede che vale $ 6*x*y*z $ .
Passavo poi alle coordinate cilindriche
$ x=rho*cos theta $
$ y=rho*sin theta $
$ z=t $
con opportuno Jacobiano $ rho $ . La Divergenza di cui sopra risulta in queste variabili $ 6*t*rho^3*cos theta*sin theta $
Integravo poi con un integrale triplo sugli intervalli seguenti
l'angolo $ theta $ tra 0 e pigreco/2
il raggio $ rho $ tra 0 e $ sqrt(9 - t) $
la variabile t tra 0 e 5.
Mi risulta 5025/16 , che mi pare un valore un pò strano.
Il dubbio è questo: ho sbagliato i calcoli oppure il procedimento?
Ringrazio quanti troveranno un attimo di tempo per darmi una mano.
Sperando di avere scritto il tuuo in maniera corretta, vi saluto e vi ringrazio.
Sono nuovo di questo forum, e già chiedo aiuto!
Il problema è questo:
- ho il campo F(x,y,z) = ( $ x^2*y*z , x*y^2*z , x*y*z^2 $ )
Devo calcolarne il flusso attraverso una superficie $ sigma $ il cui sostegno è { $ x>=0 , y>=0 , 0<=z<=5 $ e $ x^2+y^2+z=9 $ }.
Ora, come si evince dal titolo del topic, volevo risolvere il problema applicando Gauss - Teo della Divergenza.
Tale Divergenza facilmente si vede che vale $ 6*x*y*z $ .
Passavo poi alle coordinate cilindriche
$ x=rho*cos theta $
$ y=rho*sin theta $
$ z=t $
con opportuno Jacobiano $ rho $ . La Divergenza di cui sopra risulta in queste variabili $ 6*t*rho^3*cos theta*sin theta $
Integravo poi con un integrale triplo sugli intervalli seguenti
l'angolo $ theta $ tra 0 e pigreco/2
il raggio $ rho $ tra 0 e $ sqrt(9 - t) $
la variabile t tra 0 e 5.
Mi risulta 5025/16 , che mi pare un valore un pò strano.
Il dubbio è questo: ho sbagliato i calcoli oppure il procedimento?
Ringrazio quanti troveranno un attimo di tempo per darmi una mano.
Sperando di avere scritto il tuuo in maniera corretta, vi saluto e vi ringrazio.
Risposte
non hai sbagliato niente, o al massimo solo i conti (quelli non li controllo, se non sei sicuro posta tu i passaggi e poi ci do un'occhiata). però la consegna chiede il flusso attraverso quel quarto di paraboloide (inteso come superficie), mentre tu con la divergenza hai calcolato il flusso attraverso la superficie che delimita tutto il quarto (inteso come volume). dovresti correggere un po' il tiro
Ti ringrazio dell'attenzione.
In effetti, così facendo ho calcolato il flusso attraverso tutte e cinque le facce del quarto di paraboloide.
Considerato però che se restringiamo il campo F alla faccia sul piano XY, si ha z=0, e quindi il campo F ed il flusso sono nulli.
Così anche per le faccie sul piano YZ e XZ - rispettivamente x=0 e y=0.
Allora mi basta calcolare il flusso attraverso la faccia superiore del tronco di paraboloide.
Tale faccia ha parametrizzazione:
$ z=5 $
$ x= rho cos theta $
$ y= rho sin theta $
con $ rho $ tra 0 e 2, $ theta $ tra 0 e pigreco/2
ed N= $ (0,0, rho ) $.
La funzione da integrare sarebbe $ 25*rho^3*cos theta*sin theta $.
Se moltiplico pure per lo jacobiano ottengo $ 25*rho^4*cos theta*sin theta $.
In ogni caso, una volta calcolata questa quantità, la sottraggo al totale calcolato via Divergenza e dovrei essere a posto.
Corretto?
Ancora grazie per l'aiuto.
Buona giornata.
In effetti, così facendo ho calcolato il flusso attraverso tutte e cinque le facce del quarto di paraboloide.
Considerato però che se restringiamo il campo F alla faccia sul piano XY, si ha z=0, e quindi il campo F ed il flusso sono nulli.
Così anche per le faccie sul piano YZ e XZ - rispettivamente x=0 e y=0.
Allora mi basta calcolare il flusso attraverso la faccia superiore del tronco di paraboloide.
Tale faccia ha parametrizzazione:
$ z=5 $
$ x= rho cos theta $
$ y= rho sin theta $
con $ rho $ tra 0 e 2, $ theta $ tra 0 e pigreco/2
ed N= $ (0,0, rho ) $.
La funzione da integrare sarebbe $ 25*rho^3*cos theta*sin theta $.
Se moltiplico pure per lo jacobiano ottengo $ 25*rho^4*cos theta*sin theta $.
In ogni caso, una volta calcolata questa quantità, la sottraggo al totale calcolato via Divergenza e dovrei essere a posto.
Corretto?
Ancora grazie per l'aiuto.
Buona giornata.
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