Applicazione definizione di limite:

[Roslyn]

Ho capito il concetto di limite, ma non riesco a capire l'applicazione pratica, mi spiego meglio con un esercizio pratico. Mettiamo caso che voglio dimostrare che $\lim_{n \to \infty}1/n=0$. Per definizione ho che $AA$ $\epsilon$$>0$ $EE$$v:$ $1/n<$$\epsilon$(nel nostro caso possiamo omettere il valore assoluto) $AA$$n>v$. Ora ho che$ n>1/\epsilon$. Tutto ciò significa che per ogni indice strettamente maggiore di $1/\epsilon$ la mia successione converge al valore limite 0. Quindi se prendo $1/(\epsilon)+1$ la condizione è verificata, però ho notato che anche se prendo un valore minore dell'indice v scelto la condizione resta verificata, come ad esempio $v=1/(\epsilon)-1$. Dove sbaglio?

[Noisemaker]

per definzione, si dirà che $l$ è il limite della successione $a_n$ se

\begin{align}
\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N} : \forall n>N \Rightarrow |a_n-l|<\varepsilon
\end{align}

nel tuo caso , come hai fatto giustamente,

\begin{align}
\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N} : \forall n>N \Rightarrow \left|\frac{1}{n}-0\right|<\varepsilon
\end{align}

ovvero,

\begin{align}
\left|\frac{1}{n}\right|<\varepsilon\quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{n} <\varepsilon \quad\Leftrightarrow\quad n >\frac{1}{\varepsilon}
\end{align}

se prendi $N=\frac{1}{\varepsilon}$ hai dimostrato che $0$ è il limite di quella successione, in base alla definizione; tu sbagli, perchè la definizione ti dice che $...\exists N\in\mathbb{N} : \forall n>N $ , e se tu prendi $N=1/\varepsilon-1$ non è un numero naturale ...Perchè?