Applicare la disuguaglianza di Holder
Riporto qui questo esercizio (che è il primo di una lunga serie di esercizi "identici": ne riporto uno soltanto per capire il metodo).
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Suggerimento: per risolvere questo esercizio si utilizzi la disuguaglianza di Holder con esponenti opportuni. (Questa raccomandazione è presente in tutti gli esercizi).>>
Il fatto è che ho una serie di questi esercizi: dimostrare che una certa cosa in norma $p_n$ è minore o uguale ad un altra utilizzando Holder.
E' proprio il metodo che non riesco a capire. Se pongo, in questo esempio, $p=\frac{p_2}{p_1}$ e $q=\frac{p_2}{p_2-p_1}$ ho che $1/p+1/q=1$ ma non capisco come si rivolta quella espressione per riportarla alla disuguaglianza di Holder.
Grazie a chiunque mi fornirà un'idea che possa servirmi come 'stele di Rosetta' per questa classe di esercizi.
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Suggerimento: per risolvere questo esercizio si utilizzi la disuguaglianza di Holder con esponenti opportuni. (Questa raccomandazione è presente in tutti gli esercizi).>>
Il fatto è che ho una serie di questi esercizi: dimostrare che una certa cosa in norma $p_n$ è minore o uguale ad un altra utilizzando Holder.
E' proprio il metodo che non riesco a capire. Se pongo, in questo esempio, $p=\frac{p_2}{p_1}$ e $q=\frac{p_2}{p_2-p_1}$ ho che $1/p+1/q=1$ ma non capisco come si rivolta quella espressione per riportarla alla disuguaglianza di Holder.
Grazie a chiunque mi fornirà un'idea che possa servirmi come 'stele di Rosetta' per questa classe di esercizi.
Risposte
prova a guardare il post "norme Lp"
c'è un po' di roba e un link utile
....saluti .....Holmes
c'è un po' di roba e un link utile
....saluti .....Holmes
"holmes":
prova a guardare il post "norme Lp"
c'è un po' di roba e un link utile
....saluti .....Holmes
Ti ringrazio per l'idea anche se lo avevo visto prima di postare (in genere uso "cerca" o, comunque, guardo gli interventi sulle prime pagine per evitare di ripetermi...).
Purtroppo, però, mi sa che sono problemi differenti o, almeno, non riesco a capire il collegamento con quello che ho postato io.
Ero rimasto parecchio a pensare sul tuo intervento dell'altro post ( https://www.matematicamente.it/forum/nor ... tml#373315 ) che recava delle assonanze con il mio problema, o con una possibile soluzione... ma poi ho deciso di postare questo topic.
Comunque ti ringrazio davvero per avermi risposto: continuerò a pensarci su (anche se ora devo per forza chiudere internet per un po...)
La cosa è più semplice di quanto appaia.
Se [tex]$|E|=+\infty$[/tex] ([tex]$|E|$[/tex] è la misura di Lebesgue di [tex]$E$[/tex]) oppure [tex]$||f||_{p_2,E} =+\infty$[/tex] allora la tesi è banale; altrettanto banale è la cosa se [tex]$|E|=0$[/tex] oppure se [tex]$||f||_{p_2,E} =0$[/tex] (perchè in tal caso sarebbe [tex]$f=0 \text{ q.o. in $E$}$[/tex]).
Inoltre dimostrare la disuguaglianza è massimamente semplice se [tex]$p_2=+\infty$[/tex].
Perciò supponi che [tex]$p_2<+\infty$[/tex], [tex]$0<|E|<+\infty$[/tex] ed [tex]$0<||f||_{p_2,E}^{p_2} :=\int_E |f|^{p_2} \text{d} \mu <+\infty$[/tex].
Prendiamo allora [tex]$0
[tex]$\int_E |f|^{p_1} \ \text{d} \mu =\int_E |f|^{p_1} \chi_E \ \text{d} \mu $[/tex]
e ti accorgi che nell'ultimo integrale hai un prodotto di due funzioni: la [tex]$\chi_E$[/tex] che è in ogni [tex]$L^p$[/tex] (per essere caratteristica d'un insieme con misura finita) e la [tex]$|f|^{p_1}$[/tex] che sta in [tex]$L^{\frac{p_2}{p_1}}$[/tex] (poiché infatti [tex]$\left\{ |f|^{p_1} \right\}^\frac{p_2}{p_1} =|f|^{p_2} \in L^1$[/tex]).
Posto per comodità [tex]$q:=\frac{p_2}{p_1} >1$[/tex], si ha [tex]$q^\prime = \frac{q}{q-1} =\frac{p_2}{p_2-p_1}$[/tex] e, dato che [tex]$|f|^{p_1} \in L^q, \chi_E \in L^{q^\prime}$[/tex], sembra opportuno applicare Hölder con gli esponenti coniugati [tex]$q,q^\prime$[/tex] all'integrale al secondo membro della precedente; in tal modo trovi:
[tex]$\int_E |f|^{p_1} \ \text{d} \mu =\int_E |f|^{p_1} \chi_E \ \text{d} \mu $[/tex]
[tex]$\stackrel{\text{H\"older}}{\leq} ||\ |f|^{p_1}||_{q,E}\ ||\chi_E||_{q^\prime,E}$[/tex]
[tex]$=\Big\{ \int_E |f|^{p_2} \ \text{d} \mu\Big\}^\frac{p_1}{p_2} \ \Big\{ \int_E \chi_E \ \text{d} \mu\Big\}^\frac{p_2-p_1}{p_2}$[/tex]
[tex]$=||f||_{p_2,E}^{p_1} \ |E|^\frac{p_2-p_1}{p_2}$[/tex]
che è proprio quel che volevi, giacché prendendo le potenze [tex]$\frac{1}{p_1}$[/tex] dei membri esterni ottieni:
[tex]$||f||_{p_1,E}\leq ||f||_{p_2,E} \ |E|^\frac{p_2-p_1}{p_1p_2} = ||f||_{p_2,E} \ |E|^{\frac{1}{p_1} -\frac{1}{p_2}}$[/tex].
Ecco come si applica Hölder in questo caso.
Questa tecnica (ossia trovare l'esponente [tex]$q$[/tex] giusto per una "buona" Hölder) ricorre spesso nelle applicazioni.
Se [tex]$|E|=+\infty$[/tex] ([tex]$|E|$[/tex] è la misura di Lebesgue di [tex]$E$[/tex]) oppure [tex]$||f||_{p_2,E} =+\infty$[/tex] allora la tesi è banale; altrettanto banale è la cosa se [tex]$|E|=0$[/tex] oppure se [tex]$||f||_{p_2,E} =0$[/tex] (perchè in tal caso sarebbe [tex]$f=0 \text{ q.o. in $E$}$[/tex]).
Inoltre dimostrare la disuguaglianza è massimamente semplice se [tex]$p_2=+\infty$[/tex].
Perciò supponi che [tex]$p_2<+\infty$[/tex], [tex]$0<|E|<+\infty$[/tex] ed [tex]$0<||f||_{p_2,E}^{p_2} :=\int_E |f|^{p_2} \text{d} \mu <+\infty$[/tex].
Prendiamo allora [tex]$0
[tex]$\int_E |f|^{p_1} \ \text{d} \mu =\int_E |f|^{p_1} \chi_E \ \text{d} \mu $[/tex]
e ti accorgi che nell'ultimo integrale hai un prodotto di due funzioni: la [tex]$\chi_E$[/tex] che è in ogni [tex]$L^p$[/tex] (per essere caratteristica d'un insieme con misura finita) e la [tex]$|f|^{p_1}$[/tex] che sta in [tex]$L^{\frac{p_2}{p_1}}$[/tex] (poiché infatti [tex]$\left\{ |f|^{p_1} \right\}^\frac{p_2}{p_1} =|f|^{p_2} \in L^1$[/tex]).
Posto per comodità [tex]$q:=\frac{p_2}{p_1} >1$[/tex], si ha [tex]$q^\prime = \frac{q}{q-1} =\frac{p_2}{p_2-p_1}$[/tex] e, dato che [tex]$|f|^{p_1} \in L^q, \chi_E \in L^{q^\prime}$[/tex], sembra opportuno applicare Hölder con gli esponenti coniugati [tex]$q,q^\prime$[/tex] all'integrale al secondo membro della precedente; in tal modo trovi:
[tex]$\int_E |f|^{p_1} \ \text{d} \mu =\int_E |f|^{p_1} \chi_E \ \text{d} \mu $[/tex]
[tex]$\stackrel{\text{H\"older}}{\leq} ||\ |f|^{p_1}||_{q,E}\ ||\chi_E||_{q^\prime,E}$[/tex]
[tex]$=\Big\{ \int_E |f|^{p_2} \ \text{d} \mu\Big\}^\frac{p_1}{p_2} \ \Big\{ \int_E \chi_E \ \text{d} \mu\Big\}^\frac{p_2-p_1}{p_2}$[/tex]
[tex]$=||f||_{p_2,E}^{p_1} \ |E|^\frac{p_2-p_1}{p_2}$[/tex]
che è proprio quel che volevi, giacché prendendo le potenze [tex]$\frac{1}{p_1}$[/tex] dei membri esterni ottieni:
[tex]$||f||_{p_1,E}\leq ||f||_{p_2,E} \ |E|^\frac{p_2-p_1}{p_1p_2} = ||f||_{p_2,E} \ |E|^{\frac{1}{p_1} -\frac{1}{p_2}}$[/tex].
Ecco come si applica Hölder in questo caso.
Questa tecnica (ossia trovare l'esponente [tex]$q$[/tex] giusto per una "buona" Hölder) ricorre spesso nelle applicazioni.
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