Applicabilita' teorema per soluzione particolare di equazione a coefficienti costanti
Considerata l'equazione differenziale a coefficienti costanti non omogenea:
$$ y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \dots + a_n y= f(x) $$
Sulle dispense ho un teorema che mi dice che se $f(x)=q(x) e^{\lambda x}$, con $q \in RR[x]$ e $\lambda \in RR$, e $\mu$ e' la molteplicita' del polinomio caratteristico associato all'equazione (se $\lambda$ non e' radice $\mu=0$), allora esiste $r \in RR[x]$ con $\deg (r) = \deg (q)$ tale che $x^{\mu} r(x) e^{\lambda x}$ e' soluzione.
In genere non ho problemi ad applicarlo, quando voglio risolvere un problema di Cauchy con una equazione di grado $n$ a coefficienti costanti prima scrivo l'equazione caratteristica e quindi ottengo la soluzione omogenea (metto a sistema con i valori iniziali), poi usando questo teorema (o il metodo della somiglianza) calcolo una soluzione particolare (e metto anche questa a sistema con i valori iniziali). Dunque sommo tutto e ottengo la soluzione (che un altro teorema mi garantisce esistere ed essere unica, sto parlando di equazioni di grado $n$ con $n$ vincoli ai valori iniziali).
La domanda adesso riguarda questa semplice equazione che sta distruggendo tutte queste mie sicurezze:
$$ \begin{cases} y'' + 4y = x \\ y(0)=2 \\ y'(0)=1/4 \end{cases} $$
Le radici dell'equazione caratteristica sono $2i$ e $-2i$, quindi la soluzione omogena e' $1/8 \sin(2x) + 2 cos(2x)$.
Il mio problema e' con la soluzione particolare: posso applicare il teorema con $\lambda = 0$ e $\mu=0$ e quindi la soluzione particolare dovrebbe avere la forma $ax + b$, ma questo e' impossibile, non trovero' mai $a$ e $b$ che facciano si' che questa sia soluzione del problema di Cauchy.
Quindi ho due domande:
1- Cosa e' sbagliato? Ho la sensazione che nel teorema manchi qualche ipotesi ma non ne sono certo.
2- Come faccio a calcolare la soluzione particolare?
Grazie mille a tutti, mi rendo conto della domanda un po' sciocca (in teoria questo dovrebbe essere uno dei primissimi esercizi, eppure non capisco cosa sto sbagliando).
$$ y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \dots + a_n y= f(x) $$
Sulle dispense ho un teorema che mi dice che se $f(x)=q(x) e^{\lambda x}$, con $q \in RR[x]$ e $\lambda \in RR$, e $\mu$ e' la molteplicita' del polinomio caratteristico associato all'equazione (se $\lambda$ non e' radice $\mu=0$), allora esiste $r \in RR[x]$ con $\deg (r) = \deg (q)$ tale che $x^{\mu} r(x) e^{\lambda x}$ e' soluzione.
In genere non ho problemi ad applicarlo, quando voglio risolvere un problema di Cauchy con una equazione di grado $n$ a coefficienti costanti prima scrivo l'equazione caratteristica e quindi ottengo la soluzione omogenea (metto a sistema con i valori iniziali), poi usando questo teorema (o il metodo della somiglianza) calcolo una soluzione particolare (e metto anche questa a sistema con i valori iniziali). Dunque sommo tutto e ottengo la soluzione (che un altro teorema mi garantisce esistere ed essere unica, sto parlando di equazioni di grado $n$ con $n$ vincoli ai valori iniziali).
La domanda adesso riguarda questa semplice equazione che sta distruggendo tutte queste mie sicurezze:
$$ \begin{cases} y'' + 4y = x \\ y(0)=2 \\ y'(0)=1/4 \end{cases} $$
Le radici dell'equazione caratteristica sono $2i$ e $-2i$, quindi la soluzione omogena e' $1/8 \sin(2x) + 2 cos(2x)$.
Il mio problema e' con la soluzione particolare: posso applicare il teorema con $\lambda = 0$ e $\mu=0$ e quindi la soluzione particolare dovrebbe avere la forma $ax + b$, ma questo e' impossibile, non trovero' mai $a$ e $b$ che facciano si' che questa sia soluzione del problema di Cauchy.
Quindi ho due domande:
1- Cosa e' sbagliato? Ho la sensazione che nel teorema manchi qualche ipotesi ma non ne sono certo.
2- Come faccio a calcolare la soluzione particolare?
Grazie mille a tutti, mi rendo conto della domanda un po' sciocca (in teoria questo dovrebbe essere uno dei primissimi esercizi, eppure non capisco cosa sto sbagliando).
Risposte
\(a=\frac{1}{4}\) e \(b=0\), no? Le condizioni stanno su \(y\) e non sulla soluzione dell'omogenea!
Ma la soluzione particolare $y(x)=x/4$ non soddisfa la condizione $y(0)=2$ (mentre soddisfa $y'(0)=1/4$). Non capisco cosa intendi dicendo che le condizioni stanno su $y$ e non sulla omogenea.
Grazie comunque.
Grazie comunque.
La soluzione particolare è una soluzione della EDO, non (in generale) del problema di Cauchy.
Ciao zariski,
Credevo che coloro che mi hanno preceduto ti avessero chiarito la questione, ma mi pare di aver capito che hai ancora dei dubbi.
La soluzione dell'equazione differenziale omogenea $y'' + 4y = 0 $ associata all'equazione differenziale proposta $y'' + 4y = x $ è la seguente:
$y_o(x) = c_1 cos(2x) + c_2 sin(2x) $
La soluzione particolare dell'equazione differenziale proposta $y'' + 4y = x $, che tu stesso hai già trovato, è $y_p(x) = x/4 $
Dunque la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:
$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 cos(2x) + c_2 sin(2x) + x/4 $
L'errore che commetti è imporre le condizioni al contorno del problema di Cauchy sulla soluzione particolare $y_p(x) = x/4 $ invece che su $y(x) $:
$y(0) = 2 \implies c_1 + 0 = 2 \implies c_1 = 2 $
$ y'(0) = 1/4 \implies - 2c_1 sin(0) + 2c_2 cos(0) + 1/4 = 1/4 \implies c_2 = 0 $
In definitiva la soluzione del problema di Cauchy proposto è la seguente:
$ y(x) = 2 cos(2x) + x/4 = 1/4 [x + 8 cos(2x)] $
Credevo che coloro che mi hanno preceduto ti avessero chiarito la questione, ma mi pare di aver capito che hai ancora dei dubbi.
La soluzione dell'equazione differenziale omogenea $y'' + 4y = 0 $ associata all'equazione differenziale proposta $y'' + 4y = x $ è la seguente:
$y_o(x) = c_1 cos(2x) + c_2 sin(2x) $
La soluzione particolare dell'equazione differenziale proposta $y'' + 4y = x $, che tu stesso hai già trovato, è $y_p(x) = x/4 $
Dunque la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:
$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 cos(2x) + c_2 sin(2x) + x/4 $
L'errore che commetti è imporre le condizioni al contorno del problema di Cauchy sulla soluzione particolare $y_p(x) = x/4 $ invece che su $y(x) $:
$y(0) = 2 \implies c_1 + 0 = 2 \implies c_1 = 2 $
$ y'(0) = 1/4 \implies - 2c_1 sin(0) + 2c_2 cos(0) + 1/4 = 1/4 \implies c_2 = 0 $
In definitiva la soluzione del problema di Cauchy proposto è la seguente:
$ y(x) = 2 cos(2x) + x/4 = 1/4 [x + 8 cos(2x)] $
Anche perché succederebbe questa cosa qui... Sappiamo che le soluzioni di una EDO lineare completa si scrivono come somma dell'integrale generale dell'equazione omogenea associata e di una soluzione particolare della EDO completa; se la EDO è di ordine $2$ (tanto per semplificare), l'integrale generale dell'omogenea è una funzione del tipo:
\[
y_0(x) := C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)\; ,
\]
con $y_1$, $y_2$ soluzioni indipendenti della EDO omogenea, e detta $y_p(x)$ la soluzione particolare della EDO completa, l'integrale generale della EDO completa è:
\[
y(x) = y_0(x) + y_p(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + y_p(x)\; .
\]
Nel caso di P.d.C. associato alla EDO lineare completa, è all'integrale generale della EDO completa che si vanno ad imporre le condizioni di Cauchy, cioè:
\[
\begin{cases}
y(x) = a\\
y^\prime (x) = b
\end{cases}\; ,
\]
in modo da ottenere un sistema lineare di Cramer che consente il calcolo delle due costanti $C_1$ e $C_2$.
Osserva però attentamente che, nel caso di un P.d.C. associato alla EDO lineare completa, non è vero che una soluzione del P.d.C. è somma di due soluzioni di Pp.dd.CC. con le stesse condizioni (uno relativo alla EDO omogenea e l'altro relativo alla EDO completa)... Questo per un fatto semplice: se $y_0(x)$ ed $y_p(x)$ soddisfano ognuna condizioni di Cauchy del tipo:
\[
\begin{cases}
y_0(0) = a\\
y_0^\prime (0)=b
\end{cases}\qquad \text{e}\qquad \begin{cases}
y_p (0) = a\\
y_p^\prime (0)=b
\end{cases}
\]
allora la funzione $y(x)=y_0(x) + y_p(x)$ soddisfa le condizioni di Cauchy:
\[
\begin{cases}
y(0) = y_0(0) + y_p(0)=2 a\\
y^\prime (0)= y_0^\prime (0) + y_p^\prime (0) = 2b
\end{cases}
\]
in generale diverse da quelle assegnate \(y(0)=a, y^\prime (0)=b\)!
Discorso diverso se si sceglie di imporre le condizioni di Cauchy separatamente. Per esempio, si richiede che $y_0$ ed $y_p$ risolvano i Pp.dd.Cc. con condizioni:
\[
\begin{cases}
y_0(0) = a\\
y_0^\prime (0)=0
\end{cases}\qquad \text{e}\qquad \begin{cases}
y_p (0) = 0\\
y_p^\prime (0)=b
\end{cases}
\]
o viceversa:
\[
\begin{cases}
y_0(0) = 0\\
y_0^\prime (0)=b
\end{cases}\qquad \text{e}\qquad \begin{cases}
y_p (0) = a\\
y_p^\prime (0)=0
\end{cases}
\]
oppure si impone che l'integrale dell'omogenea $y_0$ soddisfi le condizioni iniziali del P.d.C. e l'integrale particolare della EDO completa soddisfi condizioni nulle:
\[
\begin{cases}
y_0(0) = a\\
y_0^\prime (0)=b
\end{cases}\qquad \text{e}\qquad \begin{cases}
y_p (0) = 0\\
y_p^\prime (0)=0
\end{cases}\; ,
\]
poiché in ognuno di tali casi la funzione $y(x)=y_0(x) + y_p(x)$ soddisfa il P.d.C. assegnato.
Ovviamente, queste non sono le sole alternative possibili, ma sono quelle "più sensate".
Morale della favola: o le condizioni di Cauchy si impongono direttamente all'integrale generale della EDO completa, oppure non vanno imposte contemporaneamente entrambe sull'integrale dell'omogenea associata e della completa.
\[
y_0(x) := C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)\; ,
\]
con $y_1$, $y_2$ soluzioni indipendenti della EDO omogenea, e detta $y_p(x)$ la soluzione particolare della EDO completa, l'integrale generale della EDO completa è:
\[
y(x) = y_0(x) + y_p(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + y_p(x)\; .
\]
Nel caso di P.d.C. associato alla EDO lineare completa, è all'integrale generale della EDO completa che si vanno ad imporre le condizioni di Cauchy, cioè:
\[
\begin{cases}
y(x) = a\\
y^\prime (x) = b
\end{cases}\; ,
\]
in modo da ottenere un sistema lineare di Cramer che consente il calcolo delle due costanti $C_1$ e $C_2$.
Osserva però attentamente che, nel caso di un P.d.C. associato alla EDO lineare completa, non è vero che una soluzione del P.d.C. è somma di due soluzioni di Pp.dd.CC. con le stesse condizioni (uno relativo alla EDO omogenea e l'altro relativo alla EDO completa)... Questo per un fatto semplice: se $y_0(x)$ ed $y_p(x)$ soddisfano ognuna condizioni di Cauchy del tipo:
\[
\begin{cases}
y_0(0) = a\\
y_0^\prime (0)=b
\end{cases}\qquad \text{e}\qquad \begin{cases}
y_p (0) = a\\
y_p^\prime (0)=b
\end{cases}
\]
allora la funzione $y(x)=y_0(x) + y_p(x)$ soddisfa le condizioni di Cauchy:
\[
\begin{cases}
y(0) = y_0(0) + y_p(0)=2 a\\
y^\prime (0)= y_0^\prime (0) + y_p^\prime (0) = 2b
\end{cases}
\]
in generale diverse da quelle assegnate \(y(0)=a, y^\prime (0)=b\)!
Discorso diverso se si sceglie di imporre le condizioni di Cauchy separatamente. Per esempio, si richiede che $y_0$ ed $y_p$ risolvano i Pp.dd.Cc. con condizioni:
\[
\begin{cases}
y_0(0) = a\\
y_0^\prime (0)=0
\end{cases}\qquad \text{e}\qquad \begin{cases}
y_p (0) = 0\\
y_p^\prime (0)=b
\end{cases}
\]
o viceversa:
\[
\begin{cases}
y_0(0) = 0\\
y_0^\prime (0)=b
\end{cases}\qquad \text{e}\qquad \begin{cases}
y_p (0) = a\\
y_p^\prime (0)=0
\end{cases}
\]
oppure si impone che l'integrale dell'omogenea $y_0$ soddisfi le condizioni iniziali del P.d.C. e l'integrale particolare della EDO completa soddisfi condizioni nulle:
\[
\begin{cases}
y_0(0) = a\\
y_0^\prime (0)=b
\end{cases}\qquad \text{e}\qquad \begin{cases}
y_p (0) = 0\\
y_p^\prime (0)=0
\end{cases}\; ,
\]
poiché in ognuno di tali casi la funzione $y(x)=y_0(x) + y_p(x)$ soddisfa il P.d.C. assegnato.
Ovviamente, queste non sono le sole alternative possibili, ma sono quelle "più sensate".
Morale della favola: o le condizioni di Cauchy si impongono direttamente all'integrale generale della EDO completa, oppure non vanno imposte contemporaneamente entrambe sull'integrale dell'omogenea associata e della completa.
Grazie mille a tutti!
Siete stati molti chiari ed esplicativi.
Siete stati molti chiari ed esplicativi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo