Appartenenza funzione a L1

[Crowe]

Ciao a tutti ragazzi, c'è un esercizio che provo a fare da giorni senza però troppi risultati. Dovrei studiare al variare di $ alpha $ l'appartenenza di $ root(2)((1) / (|x-alpha |)) 1/|3-x^2|^alpha $ a L1

ciò che dovrebbe tornare è che l'appartenenza c'è per $ 1/4 < alpha <1 $ , allora vado a studiare il problema :

Per $ xrarr oo $ , la funzione tende asintoticamente a $ 1/|x|^(1/2 + 2 alpha ) $ quindi ho la convergenza dell'integrale per $ 1/2 + 2alpha >1 rarr 1+4alpha >2rarr alpha >1/4 $
il problema è come trovo la condizione $ alpha <1 $ ?

Ho provato a fare un ragionamento ma non so se è corretto, ponendo $ x^2-3=r $ la mia funzione diventa
$ 1/sqrt(|(sqrt(r+3)) - alpha | ) $ $ 1/|r|^alpha $ . Per $ rrarr 0 $ $ 1/sqrt(|(sqrt(r+3)) - alpha | ) $ risulta assoultamente integrabile, mentre $ 1/|r|^alpha $ no ed è convergente solo per $ alpha<1 $ .
E' corretto il mio ragionamento? Grazie in anticipo a tutti

[Nick_931]

credo che basti considerare che in un intorno di $sqrt{3}$ la funzione tenda asintoticamente come $1/|(x-\sqrt{3})|^{alpha}$!