Apparente ambiguità in un limite.
Con due metodi diversi si ottengono due risultati diversi. Ma solo uno dovrebbe essere giusto, e provo a spiegare il perché.
Calcolare, se esiste: $lim_{ntooo}n^2(e^(1/n^2)-cos(1/n))$.
- Limite notevole: $(e^(epsilon_n)-1)/epsilon_nto1$. Viene ( poiché '' $cos(1/n)to1$ '' ): $n^2(e^(1/n^2)-1)/(1/n^2)1/n^2=1$.
- Limite notevole: $(1-cosepsilon_n)/epsilon_n^2=1/2$. Viene ( poiché '' $e^(1/n^2)to1$ '' ): $n^2(1/n^2)(1-cos(1/n))/(1/n^2)=1/2$.
Il limite giusto da utilizzare dovrebbe essere quello con il '' coseno '', perché la tendenza di '' $e^(1/n^2)$ '' a '' $1$ '' è più forte rispetto a quella di '' $cos(1/n)$ ''; si tratta di un infinitesimo di ordine superiore. Chiedo se ciò sia corretto.
Calcolare, se esiste: $lim_{ntooo}n^2(e^(1/n^2)-cos(1/n))$.
- Limite notevole: $(e^(epsilon_n)-1)/epsilon_nto1$. Viene ( poiché '' $cos(1/n)to1$ '' ): $n^2(e^(1/n^2)-1)/(1/n^2)1/n^2=1$.
- Limite notevole: $(1-cosepsilon_n)/epsilon_n^2=1/2$. Viene ( poiché '' $e^(1/n^2)to1$ '' ): $n^2(1/n^2)(1-cos(1/n))/(1/n^2)=1/2$.
Il limite giusto da utilizzare dovrebbe essere quello con il '' coseno '', perché la tendenza di '' $e^(1/n^2)$ '' a '' $1$ '' è più forte rispetto a quella di '' $cos(1/n)$ ''; si tratta di un infinitesimo di ordine superiore. Chiedo se ciò sia corretto.
Risposte
"_GaS_":
..Il limite giusto da utilizzare dovrebbe essere quello con il '' coseno '', perché la tendenza di '' $e^(1/n^2)$ '' a '' $1$ '' è più forte rispetto a quella di '' $cos(1/n)$ ''; si tratta di un infinitesimo di ordine superiore.
Secondo me il "baco" è tutto in quanto sottolineato:
non è affatto vero che $e^(1/(n^2))$ tende ad $1$ più velocemente di quanto non lo faccia $"cos"1/n$,
per il semplice fatto che $e^(1/(n^2))-1$ e $"cos"1/n-1$ sono due infinitesimi dello stesso ordine
(che poi è lo stesso di $1/(n^2)$..)!
Saluti dal web.
P.S.Per calcolare correttamente quel limite basta lo stesso giochetto dell'altro post
..
Ok, provvedo.
Vedo cosa viene e cerco di trarne qualche conclusione e commento.
Ti ringrazio.
Vedo cosa viene e cerco di trarne qualche conclusione e commento.
Ti ringrazio.
Ok, provvedo.
Vedo cosa viene e cerco di trarne qualche conclusione e commento.
Ti ringrazio.
Vedo cosa viene e cerco di trarne qualche conclusione e commento.
Ti ringrazio.
@theras.
Mettendo '' $+1,-1$ '' e moltiplicando e dividendo per '' $1/n^2$ '' si ottiene come limite '' $3/2$ '', la somma degli altri due, che non è un caso. Me lo spiego così: siccome le successioni '' ${e^1/n^2-1},{cos(1/n)}$ '' sono infinitesimi dello stesso ordine, l'approssimazione che ho fatto non è lecita, in quanto viene tolto il contributo di quella successione nel calcolo del limite e tale contributo non è trascurabile ( nel senso che il rapporto tende a '' $0$ '' o '' $oo$ '' con il reciproco ). Però se le successioni fossero state infinitesimi di ordine diverso, '' l'approssimazione '' sarebbe stata possibile.
- ${e^(1/n)-1},{sen1/n}$: stesso ordine di infinitesimo. Basti considerare i limiti notevoli: $(e^(epsilon_n)-1)/epsilon_nto1;
(sen(epsilon_n))/epsilon_nto1$.
- ${e^(1/n^2)}$: infinitesimo di un ordine superiore a '' ${e^(1/n)}$ ''.
- ${1-cos(1/n)}$: infinitesimo di un ordine superiore a '' ${sen(1/n)}$ ''. Infatti dal limite notevole: $((1-cos(epsilon_n))/epsilon_n^2)=1/2$; quindi se al denominatore ci fosse '' $epsilon_n$ '', il limite tenderebbe a '' $0$ ''. Evidentemente non sarebbe equivalente al limite notevole del '' seno ''.
- ${e^(1/n^2)},{cos(1/n)}$: stesso ordine di infinitesimo, come conseguenza di quanto trattato.
Inizialmente il mio errore stava nell'aver posto a priori ( senza ragionare ) '' $sen1/n$ '' e '' $cos(1/n)-1$ '' come successioni di stesso ordine di infinitesimo, da cui la conclusione sbagliata sul paragone tra il '' coseno '' e l'esponenziale.
Inoltre, a livello geometrico, basta notare che nella funzione '' seno '' l'andamento della funzione intorno a '' $0$ '' è diverso
rispetto ad un intorno di '' $pi/2$ '' ( la '' testolina '' della funzione ).
Se invece avessi avuto l'esponenziale con ordine di infinitesimo superiore ( esempio: ${e^(1/n^3)}$ ), in virtù di quanto esposto, l'approssimazione sarebbe stata corretta. Ovvero sarebbero stati esatti entrambi i metodi: rendere '' ${e^(1/n^3)}=1$ '' oppure aggiungere '' $+1,-1$ '', da cui il resto.
Questo è quello che ho ricavato.
Mettendo '' $+1,-1$ '' e moltiplicando e dividendo per '' $1/n^2$ '' si ottiene come limite '' $3/2$ '', la somma degli altri due, che non è un caso. Me lo spiego così: siccome le successioni '' ${e^1/n^2-1},{cos(1/n)}$ '' sono infinitesimi dello stesso ordine, l'approssimazione che ho fatto non è lecita, in quanto viene tolto il contributo di quella successione nel calcolo del limite e tale contributo non è trascurabile ( nel senso che il rapporto tende a '' $0$ '' o '' $oo$ '' con il reciproco ). Però se le successioni fossero state infinitesimi di ordine diverso, '' l'approssimazione '' sarebbe stata possibile.
- ${e^(1/n)-1},{sen1/n}$: stesso ordine di infinitesimo. Basti considerare i limiti notevoli: $(e^(epsilon_n)-1)/epsilon_nto1;
(sen(epsilon_n))/epsilon_nto1$.
- ${e^(1/n^2)}$: infinitesimo di un ordine superiore a '' ${e^(1/n)}$ ''.
- ${1-cos(1/n)}$: infinitesimo di un ordine superiore a '' ${sen(1/n)}$ ''. Infatti dal limite notevole: $((1-cos(epsilon_n))/epsilon_n^2)=1/2$; quindi se al denominatore ci fosse '' $epsilon_n$ '', il limite tenderebbe a '' $0$ ''. Evidentemente non sarebbe equivalente al limite notevole del '' seno ''.
- ${e^(1/n^2)},{cos(1/n)}$: stesso ordine di infinitesimo, come conseguenza di quanto trattato.
Inizialmente il mio errore stava nell'aver posto a priori ( senza ragionare ) '' $sen1/n$ '' e '' $cos(1/n)-1$ '' come successioni di stesso ordine di infinitesimo, da cui la conclusione sbagliata sul paragone tra il '' coseno '' e l'esponenziale.
Inoltre, a livello geometrico, basta notare che nella funzione '' seno '' l'andamento della funzione intorno a '' $0$ '' è diverso
rispetto ad un intorno di '' $pi/2$ '' ( la '' testolina '' della funzione ).
Se invece avessi avuto l'esponenziale con ordine di infinitesimo superiore ( esempio: ${e^(1/n^3)}$ ), in virtù di quanto esposto, l'approssimazione sarebbe stata corretta. Ovvero sarebbero stati esatti entrambi i metodi: rendere '' ${e^(1/n^3)}=1$ '' oppure aggiungere '' $+1,-1$ '', da cui il resto.
Questo è quello che ho ricavato.
Direi che inizi a farti tornare i tuoi personalissimi conti in modo corretto:
il linguaggio s'affinerà,e le buone idee resteranno .
Saluti dal web.
il linguaggio s'affinerà,e le buone idee resteranno
.Saluti dal web.
Ti ringrazio, sei gentilissimo.
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