Aperto sse unione di tutti gli intervalli aperti contenuti
Ciao. Se diamo il nome di intervalli aperti di \( \mathbb{R} \) a tutti gli insiemi del tipo o \( \left]a,b\right[ \) con \( a \) e \( b \) elementi di \( \mathbb{R}\cup\left\{\pm\infty\right\} \) tali che \( a
Dico che \( A \) è aperto con questa topologia se e solo se è unione di tutti i suoi intervalli aperti (intendo, unione di tutti gli intervalli aperti contenuti in esso).
Dimostrazione. Ovviamente, se \( A \) è l'unione di tutti gli intervalli aperti \( I\subset A \), allora \( A \) è aperto; se è il contrario, cioè se \( A \) è aperto, esso è l'unione di una famiglia \( \mathcal{I} \) di intervalli aperti: preso un \( a\in A \) esiste un intervallo aperto, che è per forza contenuto \( A \), tale da comprendere \( a \). È quindi \( A = \bigcup_{X\in\mathcal{I}_A}X \), dove \( \mathcal{I}_A \) è la famiglia di tutti gli intervalli aperti di \( A \). \( \square \)
Regge?
Dico che \( A \) è aperto con questa topologia se e solo se è unione di tutti i suoi intervalli aperti (intendo, unione di tutti gli intervalli aperti contenuti in esso).
Dimostrazione. Ovviamente, se \( A \) è l'unione di tutti gli intervalli aperti \( I\subset A \), allora \( A \) è aperto; se è il contrario, cioè se \( A \) è aperto, esso è l'unione di una famiglia \( \mathcal{I} \) di intervalli aperti: preso un \( a\in A \) esiste un intervallo aperto, che è per forza contenuto \( A \), tale da comprendere \( a \). È quindi \( A = \bigcup_{X\in\mathcal{I}_A}X \), dove \( \mathcal{I}_A \) è la famiglia di tutti gli intervalli aperti di \( A \). \( \square \)
Regge?
Risposte
Non ti esprimi molto bene, e non si capisce esattamente cosa tu stia cercando di dimostrare. Credo tu prenda due definizioni distinte di "insieme aperto" e vuoi dimostrare che sono equivalenti; ma non è chiaro. Prova a dirlo meglio. (In ogni caso, sono sicuro che tu stia cercando di dimostrare una cosa ovvia).
Chiamo intervalli aperti di \( \mathbb{R} \) gli intervalli reali \( \emptyset \) e \( \left]a,b\right[ \), con \( a \) e \( b \) elementi di \( \mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} \). Do a questi intervalli il nome di intervalli "aperti" per convenzione.
Do una topologia (che poi sarà quella classica) sulla retta, dicendo che un sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) è un aperto se è l'unione di una famiglia di intervalli aperti.
Ad esempio la retta reale bucata \( \mathbb{R}\setminus\{a\} \), per un punto \( a \), è un aperto, perché \( \mathbb{R}\setminus\{a\}=\left]-\infty,a\right[\cup\left]a,+\infty\right[ \), mentre non lo è un intervallo \( \left[a,b\right] \).
Quello che sto cercando di provare, è che un insieme è aperto nel senso appena precisato se e solo se è l'unione di tutti gli intervalli "aperti" (nel senso precisato nel primo paragrafo) che sono contenuti in esso.
Do una topologia (che poi sarà quella classica) sulla retta, dicendo che un sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) è un aperto se è l'unione di una famiglia di intervalli aperti.
Ad esempio la retta reale bucata \( \mathbb{R}\setminus\{a\} \), per un punto \( a \), è un aperto, perché \( \mathbb{R}\setminus\{a\}=\left]-\infty,a\right[\cup\left]a,+\infty\right[ \), mentre non lo è un intervallo \( \left[a,b\right] \).
Quello che sto cercando di provare, è che un insieme è aperto nel senso appena precisato se e solo se è l'unione di tutti gli intervalli "aperti" (nel senso precisato nel primo paragrafo) che sono contenuti in esso.
Ok. Benissimo. Allora la tua dimostrazione del primo post è corretta.
Curiosità: in topologia si dice che un insieme \(I\) è un intorno di un punto \(p\) se \(I\) contiene un aperto che contiene il punto \(p\). Quindi, hai appena dimostrato che un insieme è aperto se e solo se esso è intorno di ogni suo punto.
Curiosità: in topologia si dice che un insieme \(I\) è un intorno di un punto \(p\) se \(I\) contiene un aperto che contiene il punto \(p\). Quindi, hai appena dimostrato che un insieme è aperto se e solo se esso è intorno di ogni suo punto.
Regge per il semplice motivo che un insieme aperto I e uguale al suo interno.
Int(I) =I
Int(I) =I
Grazie mille @dissonance.
"Antonio Mantovani":Questo però è simile a quello che stavo cercando di dimostrare, formulato in un altro modo
Regge per il semplice motivo che un insieme aperto I e uguale al suo interno.
Int(I) =I
Credo sia una definizione, non un teorema
Comuqnue bravo.
Comuqnue bravo.
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