Aperto limitato di R^n con frontiera di misura di Lebesgue non nulla

[Pennamon]

Salve a tutti, non riesco a pensare ad un esempio. Potreste aiutarmi? Stavo studiando gli insiemi regolari rispetto ad una misura. (Data una misura \(\displaystyle \alpha \), un insieme E si dice \(\displaystyle \alpha \)-regolare se, posto \(\displaystyle E''_{\rho}=\{x\mid dist(x,E)<\rho\} \) e \(\displaystyle E'_\rho=\{x\mid dist(x,\mathbb{R}^n\setminus E)<\rho \}\), risulta \(\displaystyle \lim_{\rho\to 0}\alpha (E''_\rho)=\lim_{\rho \to 0}\alpha (E'_\rho) \) ).
Come esempio di insiemi regolari il testo propone il seguente: se \(\displaystyle \alpha \) è la misura di Lebesgue, un insieme aperto limitato, con frontiera di misura nulla, è \(\displaystyle \alpha \)-regolare.

Vorrei trovare un esempio di insieme (aperto limitato) non regolare, magari rispetto alla misura di Lebesgue (ossia un aperto limitato avente frontiera di misura non nulla).

Grazie mille

[Rigel1]

Facciamo in dimensione 2.
Considera ad esempio l'insieme dei punti di \((0,1)\times(0,1)\) a coordinate razionali:
\[
P := \{(x,y)\in (0,1)\times(0,1):\ x, y \in \mathbb{Q}\}.
\]
SIa \(z_j := (x_j, y_j)\), \(j\in\mathbb{N}\), una enumerazione di tali punti.
Fissato \(\epsilon > 0\), considera l'insieme
\[
A := \bigcup_{j\in\mathbb{N}} B_{\epsilon 2^{-j}}(z_j).
\]
Chiaramente \(A\) è aperto (unione di palle aperte), la sua misura è più piccola di \(C\epsilon\) (con \(C = 2 |B_1|\)), e la sua chiusura contiene \([0,1]\times[0,1]\). Questo ti dice che, se \(\epsilon\) è abbastanza piccolo, la frontiera di \(A\) ha misura positiva.

[Pennamon]

Ok, grazie mille per la risposta, sei stato gentilissimo
Un'ultima "domanda": basta scegliere \(\displaystyle \epsilon < \frac{1}{2\pi} \) così la misura di A è minore strettamente di 1 mentre la misura della chiusura di A è maggiore strettamente di 1, giusto?