Aperto connesso et similia
Mi potreste spiegare la differenza tra:
[*:p2fwazww]Aperto connesso[/*:p2fwazww]
[*:p2fwazww]Aperto semplicemente connesso[/*:p2fwazww]
[*:p2fwazww]Aperto a connessione superficiale semplice[/*:p2fwazww]
[*:p2fwazww]Aperto a connessione lineare semplice[/*:p2fwazww]
[*:p2fwazww]Aperto stellato[/*:p2fwazww]
[/list:u:p2fwazww]
E inoltre, queste definizioni valgono sia in $\mathbb{R}^2$ sia in $\mathbb{R}^3$?
Risposte
"Bbach":
Aperto connesso
Un aperto è connesso quando non si può scrivere come unione di due aperti disgiunti ed entrambi non vuoti.
Insomma, un aperto è connesso se "è fatto tutto di un pezzo".
"Bbach":
Aperto semplicemente connesso
Un aperto è semplicemente connesso se e solo se esso è connesso e se ogni curva chiusa contenuta in esso è contraibile ad un punto
Insomma, un aperto è semplicemente connesso se "non ha buchi".
"Bbach":
Aperto a connessione superficiale semplice
Credo sia la stessa cosa di sopra, solo con le superfici chiuse al posto delle curve (quindi valida in $RR^3$ e non in $RR^2$)... Non sono sicuro, però.
"Bbach":
Aperto a connessione lineare semplice
Credo sia la connessione semplice di cui sopra. L'aggettivo "lineare" sarà aggiunto per distinguerlo dal concetto precedente (sempre in $RR^3$)... Comunque non sono sicuro.
"Bbach":
Aperto stellato
Un aperto è stellato se esiste un punto appartenente ad esso che può essere congiunto con un qualsiasi altro punto dell'aperto mediante un segmento tutto contenuto nell'aperto stesso.
Ti manca la connessione per archi, però.
Se ho capito bene
- la connessione semplice (lineare) si usa sia in $\mathbb{R}^2$ sia in $\mathbb{R}^3$.
- La connessione superficiale semplice invece significa che il volume non ha "bolle" al suo interno, giusto?
- Infine, la condizione di aperto stellato in $\mathbb{R}^3$ è più forte della connessione superficiale semplice, giusto?
Ad esempio, una corona sferica in $\mathbb{R}^3$ è a connessione semplice lineare, non è a connessione superficiale semplice e nemmeno stellata.
Un toro in $\mathbb{R}^3$ invece non è a connessione semplice lineare ma è a connessione semplice superficiale ma non stellato.
Giusto?
- la connessione semplice (lineare) si usa sia in $\mathbb{R}^2$ sia in $\mathbb{R}^3$.
- La connessione superficiale semplice invece significa che il volume non ha "bolle" al suo interno, giusto?
- Infine, la condizione di aperto stellato in $\mathbb{R}^3$ è più forte della connessione superficiale semplice, giusto?
Ad esempio, una corona sferica in $\mathbb{R}^3$ è a connessione semplice lineare, non è a connessione superficiale semplice e nemmeno stellata.
Un toro in $\mathbb{R}^3$ invece non è a connessione semplice lineare ma è a connessione semplice superficiale ma non stellato.
Giusto?
"gugo82":
...
"Bbach":
Se ho capito bene
- la connessione semplice (lineare) si usa sia in $ \mathbb{R}^2 $ sia in $ \mathbb{R}^3 $.
- La connessione superficiale semplice invece significa che il volume non ha "bolle" al suo interno, giusto?
- Infine, la condizione di aperto stellato in $ \mathbb{R}^3 $ è più forte della connessione superficiale semplice, giusto?
Ad esempio, una corona sferica in $ \mathbb{R}^3 $ è a connessione semplice lineare, non è a connessione superficiale semplice e nemmeno stellata.
Un toro in $ \mathbb{R}^3 $ invece non è a connessione semplice lineare ma è a connessione semplice superficiale ma non stellato.
Giusto?
Aggiungo qualche altro dubbio:
- la connessione semplice lineare in $\mathbb{R}^3$ significa che non ha "fori passanti"?
- Un toro in $ \mathbb{R}^3 $ gode della connessione superficiale semplice? perché se penso ad una superficie toroidale interna "concentrica" questa si può ridurre ad una linea ma non ad un punto.
"Bbach":
[quote="gugo82"]...
"Bbach":
Se ho capito bene
- la connessione semplice (lineare) si usa sia in $ \mathbb{R}^2 $ sia in $ \mathbb{R}^3 $.
- La connessione superficiale semplice invece significa che il volume non ha "bolle" al suo interno, giusto?
- Infine, la condizione di aperto stellato in $ \mathbb{R}^3 $ è più forte della connessione superficiale semplice, giusto?
Ad esempio, una corona sferica in $ \mathbb{R}^3 $ è a connessione semplice lineare, non è a connessione superficiale semplice e nemmeno stellata.
Un toro in $ \mathbb{R}^3 $ invece non è a connessione semplice lineare ma è a connessione semplice superficiale ma non stellato.
Giusto?
Aggiungo qualche altro dubbio:
- la connessione semplice lineare in $\mathbb{R}^3$ significa che non ha "fori passanti"?
- Un toro in $ \mathbb{R}^3 $ gode della connessione superficiale semplice? perché se penso ad una superficie toroidale interna "concentrica" questa si può ridurre ad una linea ma non ad un punto.[/quote]
So di aver già ricevuto le definizioni, ma per verificare di averle ben comprese potremmo confrontarci sui dubbi di cui sopra?
Grazie
Prima bisognerebbe capire cosa si intende con connessione semplice lineare e connessione semplice superficiale. Googlando la nozione di connessione semplice superficiale sembra non implicare né essere implicata dalla connessione semplice (se ogni curva chiusa semplice $S^1\to X$ è omotopa a un punto con una omotopia che non le fa intersecare il bordo della regione dove è definita, non è detto che curve non semplici abbiano questa proprieta; se ogni curva è omotopa a un punto, non è detto che una semplice lo sia mediante un'omotopia che non le fa toccare il bordo).
Il problema, come ho già detto, è che non ho alcun testo sotto mano su cui trovare conferma a ciò che ricordo.
Ciò vale sia per quanto ho scritto qui, sia per quanto ho postato nell’altro thread (in cui mi chiedi di un eventuale “refuso”).
Ciò vale sia per quanto ho scritto qui, sia per quanto ho postato nell’altro thread (in cui mi chiedi di un eventuale “refuso”).
"gugo82":
Il problema, come ho già detto, è che non ho alcun testo sotto mano su cui trovare conferma a ciò che ricordo.
Ciò vale sia per quanto ho scritto qui, sia per quanto ho postato nell’altro thread (in cui mi chiedi di un eventuale “refuso”).
Ok grazie per il chiarimento.
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