Aperti e chiusi

[Kroldar]

siccome per definizione un chiuso è il complementare di un aperto, allora nello spazio topologico $(RR,epsilon)$, dove con $epsilon$ denoto la topologia euclidea, $AA a,b in RR : a analogamente se a $RR^2$ tolgo un cerchio privato della frontiera ottengo ancora un chiuso?
inoltre sempre nell'esempio di $RR^2$ un cerchio comprendente la frontiera dovrebbe essere un chiuso... ma allora il suo complementare è un aperto... ovvero $RR^2$ privato di un cerchio chiuso è un aperto? com'è possibile visto che gli aperti dovrebbero essere tutti i cerchi privati della frontiera?

[Fioravante Patrone1]

"Kroldar":siccome per definizione un chiuso è il complementare di un aperto, allora nello spazio topologico $(RR,epsilon)$, dove con $epsilon$ denoto la topologia euclidea, $AA a,b in RR : a analogamente se a $RR^2$ tolgo un cerchio privato della frontiera ottengo ancora un chiuso?

Sì

"Kroldar":inoltre sempre nell'esempio di $RR^2$ un cerchio comprendente la frontiera dovrebbe essere un chiuso... ma allora il suo complementare è un aperto... ovvero $RR^2$ privato di un cerchio chiuso è un aperto?

sì

"Kroldar":com'è possibile visto che gli aperti dovrebbero essere tutti i cerchi privati della frontiera?

Una precisazione preliminare. Immagino che quando dici questo tu vorresti dire che "gli aperti dovrebbero essere SOLO i cerchi privati della frontiera".

La spiegazione di tutto sta nella distinzione tra la topologia (cioè la famiglia di tutti gli aperti) ed invece una BASE per la topologia.
In $RR^2$ la famiglia di tutti i cerchi aperti è una base per la topologia euclidea. Ma poi di aperti, sempre per la topologia euclidea, ce ne sono tanti altri: ad esempio un semipiano "aperto"; $RR^2$ stesso; l'insieme vuoto; l'esterno di un cerchio chiuso...

Insomma, tutti i sottoinsiemi di $RR^2$ che possiamo vedere come unione di una famiglia arbitraria (finita [anche vuota], infinita...) di insiemi della base.

ciao

[Kroldar]

chiarissimo!
immaginavi bene la mia erronea convinzione
dunque quando si assegna una topologia in realtà si assegna una "base" per essa?
quando si dice che l'unione (anche infinita) di aperti è un aperto si intende anche una unione su una quantità infinita ma non numerabile di aperti?
già che ci sono aggiungo: in uno spazio metrico si può sempre definire una topologia considerando come base di aperti le palle di tale spazio metrico... vale anche l'inverso? nel senso... esistono spazi topologici in cui non è possibile definire una funzione "metrica"?

[Fioravante Patrone1]

"Kroldar":
immaginavi bene la mia erronea convinzione

questione d'età...

dunque quando si assegna una topologia in realtà si assegna una "base" per essa?

non necessariamente, uno può anche assegnare direttamente la topologia. Ma molto spesso è comodo definire una base.

quando si dice che l'unione (anche infinita) di aperti è un aperto si intende anche una unione su una quantità infinita ma non numerabile di aperti?

sì, anche non numerabile. Si parla di una unione di una famiglia arbitraria di aperti

già che ci sono aggiungo: in uno spazio metrico si può sempre definire una topologia considerando come base di aperti le palle di tale spazio metrico... vale anche l'inverso? nel senso... esistono spazi topologici in cui non è possibile definire una funzione "metrica"?

sì, le palle sono una base standard per la cosiddetta topologia indotta dalla metrica

No, l'inverso non vale. Esistono spazi topologici che non sono "metrizzabili". Cioè, spazi $(X,\tau)$ tali per cui non esiste alcuna metrica su $X$ la cui topologia indotta coincida con $\tau$. Un modo per avere questi esempi consiste nello sfruttare le proprietà che ogni topologia indotta da una metrica ha. Ad esempio, in uno spazio metrico (con la topologia indotta dalla metrica) ogni punto ha una base di intorni numerabile. Cosa che non vale in generale per uno spazio topologico. Se vuoi, la ragione di questo è che l'uso della metrica, funzione a valori in $RR$, induce alcune proprietà specifiche di $RR$ che non necessariamente devono valere per uno spazio topologico qualsiasi, la cui definizione prescinde completamente dai numeri reali.

Un libro per me eccellente (ma un po' tosto) che spiega queste cose (ed altro) è il buon vecchio (vedi sopra...) Kelley.

ciao

[ficus2002]

"Kroldar":
dunque quando si assegna una topologia in realtà si assegna una "base" per essa?

Si; una topologia può essere definita o assegnando gli aperti o, equivalentemente, assegnando una base.

"Kroldar":
quando si dice che l'unione (anche infinita) di aperti è un aperto si intende anche una unione su una quantità infinita ma non numerabile di aperti?

Si, unione qualunque di aperti è un aperto.

"Kroldar":in uno spazio metrico si può sempre definire una topologia considerando come base di aperti le palle rispetto alla metrica... vale anche l'inverso? nel senso... esistono spazi topologici in cui non è possibile definire una funzione "metrica"?

Si, esistono spazi topologici che non sono metrizzabili.

[Luca.Lussardi]

"Si, esistono spazi topologici che non sono metrizzabili."

Es. La topologia debole in uno spazio normato non è metrizzabile (a meno di restringerla alle sfere).

[Principe2]

Oppure la topologia indiscreta su un insieme $X$ con più di due elementi, definita assegnando come aperti solo $\emptyset$ e $X$. Tale topologia non è $T_2$ e quindi non è metrizzabile.