Aperti di $\mathbb{R}^n$ come unione numerabile di intervalli
Buongiorno a tutti,
è noto e banale dimostrare che se $A$ è un aperto di $\mathbb{R}$ allora esiste una famiglia numerabile di intervalli aperti tale che $A=\bigcup_{k=1}^{+\infty}I_k$ , la domanda è se questo valga anche per gli aperti di $\mathbb{R}^n$, cioè se esiste una famiglia di intervalli aperti di $\mathbb{R}^n$ tali che qualunque insieme aperto $A$ di $\mathbb{R}^n$ lo si possa scrivere sempre come $A=\bigcup_{k=1}^{+\infty}I_k$ ???
Nel caso affermativo qualcuno potrebbe dirmi come si dimostra o dove posso leggere la dimostrazione? e sempre nel caso affermativo fa differenza la forma di questi insiemi aperti? ad esempio se al posto degli intervalli uso le bolle?
Nel caso negativo qualcuno potrebbe mostrarmi un controesempio?
grazie a tutti
è noto e banale dimostrare che se $A$ è un aperto di $\mathbb{R}$ allora esiste una famiglia numerabile di intervalli aperti tale che $A=\bigcup_{k=1}^{+\infty}I_k$ , la domanda è se questo valga anche per gli aperti di $\mathbb{R}^n$, cioè se esiste una famiglia di intervalli aperti di $\mathbb{R}^n$ tali che qualunque insieme aperto $A$ di $\mathbb{R}^n$ lo si possa scrivere sempre come $A=\bigcup_{k=1}^{+\infty}I_k$ ???
Nel caso affermativo qualcuno potrebbe dirmi come si dimostra o dove posso leggere la dimostrazione? e sempre nel caso affermativo fa differenza la forma di questi insiemi aperti? ad esempio se al posto degli intervalli uso le bolle?
Nel caso negativo qualcuno potrebbe mostrarmi un controesempio?
grazie a tutti
Risposte
Come lo dimostri nel caso $N=1$?
Puoi generalizzare?
Inoltre, come hai definito gli aperti in $RR^N$?
Puoi generalizzare?
Inoltre, come hai definito gli aperti in $RR^N$?
Per \(\mathbb{R}^n\) dovresti considerare le palle aperte di \(\mathbb{R}^n\). Come definisci un intervallo in \(\mathbb{R}^n\) ?
Detto questo \(\mathbb{R}^n\) soddisfa il secondo assioma di numerabilità e la dimostrazione è del tutto analoga a quella per \(\mathbb{R}\).
Per quanto riguarda la dimostrazione per gli intervalli puoi usare anche il fatto che la topologia prodotto di un numero finito di spazi che soddisfano il secondo assioma di numerabilità, soddisfa ancora il secondo assioma di numerabilità.
Detto questo \(\mathbb{R}^n\) soddisfa il secondo assioma di numerabilità e la dimostrazione è del tutto analoga a quella per \(\mathbb{R}\).
Per quanto riguarda la dimostrazione per gli intervalli puoi usare anche il fatto che la topologia prodotto di un numero finito di spazi che soddisfano il secondo assioma di numerabilità, soddisfa ancora il secondo assioma di numerabilità.
"Bossmer":
è noto e banale dimostrare che
se questo per te è "banale" allora chapeau
"dissonance":
[quote="Bossmer"]
è noto e banale dimostrare che
se questo per te è "banale" allora chapeau[/quote]
Si banale forse no, ma abbastanza semplice. Si sceglie un $x\in A$ il quale ammette infiniti intorni contenuti in $A$ e si prende il più grande di tali intorni. Poi se si prende un altro punto di $A$ o questo appartiene all'intorno di prima o oppure no, e in quel caso si prende di nuovo il più grande intorno, fino a ricoprire $A$. Poiché ognuno di questi intorni disgiunti per costruzione, contiene almeno un razionale, l'insieme di questi intorni è numerabile.
"vict85":
Come definisci un intervallo in \( \mathbb{R}^n \) ?
Come il cartesiano di $n$ intervalli di $\mathbb{R}$.
"gugo82":
, come hai definito gli aperti in $\mathbb{R}^n$?
Come gli insiemi aventi solo punti interni, e i punti interni come quei punti per i quali esiste una bolla interamente contenuta nell'insieme di partenza.
"gugo82":
Come lo dimostri nel caso $N=1$?
Puoi generalizzare?
Non ne sono sicuro, perché se lo generalizzo tramite l'operazione di unione allora non concludo niente perché ad esempio se descrivo un quadrato come unione di segmenti, allora devo unire un infinità più che numerabile di segmenti, e quindi questa strada non mi permette di arrivare alla conclusione sperata, mentre passando per il prodotto cartesiano non saprei come e se è possibile rappresentare un aperto generico di $\mathbb{R}^2$ come cartesiano di due insiemi di $\mathbb{R}$...
"vict85":
Detto questo \( \mathbb{R}^n \) soddisfa il secondo assioma di numerabilità e la dimostrazione è del tutto analoga a quella per \( \mathbb{R} \).
Per quanto riguarda la dimostrazione per gli intervalli puoi usare anche il fatto che la topologia prodotto di un numero finito di spazi che soddisfano il secondo assioma di numerabilità, soddisfa ancora il secondo assioma di numerabilità.
Mmmh in effetti potresti aver ragione, ripeto la dimostrazione pari pari, con le palle, e visto che ogni palla contiene un punto appartenente a $\mathbb{Q}^n$ allora l'insieme delle palle è numerabile. In effetti questo sembra funzionare.
Come passo però poi agli intervalli? cambio la metrica delle palle scegliendo ad esempio $d(x,y)=max(|x|,|y|)$ e così le palle diventano rappresentabili come gli intervalli di $\mathbb{R}^n$ che ho definito prima? o c'è una strada più intelligente?
"Bossmer":
[quote="dissonance"][quote="Bossmer"]
è noto e banale dimostrare che
se questo per te è "banale" allora chapeau[/quote]
Si banale forse no, ma abbastanza semplice. Si sceglie un $x\in A$ il quale ammette infiniti intorni contenuti in $A$ e si prende il più grande di tali intorni. Poi se si prende un altro punto di $A$ o questo appartiene all'intorno di prima o oppure no, e in quel caso si prende di nuovo il più grande intorno, fino a ricoprire $A$. Poiché ognuno di questi intorni disgiunti per costruzione, contiene almeno un razionale, l'insieme di questi intorni è numerabile.[/quote]
Questo funziona pari pari con i rettangoli aperti in \(\mathbb R^n\), o con le palle aperte. Se fai un discorso più fine, usando queste idee dimostri il teorema di decomposizione di Whitney:
https://en.wikipedia.org/wiki/Whitney_covering_lemma
queste sono cose classiche dell'analisi armonica.
Mai sentito parlare di analisi armonica... 
Non fa niente, era solo per dire. Hai posto una buona domanda.
Quindi per ricapitolare, posso applicare quel ragionamento anche in $\R^n$, e funziona sia con i rettangoli che con le palle, perché cambio la metrica con cui definisco una palla, o perché ogni palla contiene un rettangolo?
"dissonance":
Non fa niente, era solo per dire. Hai posto una buona domanda.
Grazie
"Bossmer":
Si banale forse no, ma abbastanza semplice. Si sceglie un $ x\in A $ il quale ammette infiniti intorni contenuti in $ A $ e si prende il più grande di tali intorni. Poi se si prende un altro punto di $ A $ o questo appartiene all'intorno di prima o oppure no, e in quel caso si prende di nuovo il più grande intorno, fino a ricoprire $ A $. Poiché ognuno di questi intorni disgiunti per costruzione, contiene almeno un razionale, l'insieme di questi intorni è numerabile.
Non mi è chiaro cosa intendi con l'ultima frase. Nota tra l'altro che quegli intorni non sono disgiunti. Quindi la dimostrazione, scritta così, è leggermente incompleta.
D'altra parte, ti bastava scrivere \(\displaystyle A = \bigcup_{r\in A\cap \mathbb{Q}^n} A_r \) dove \(\displaystyle A_r\) è la più grande palla aperta centrata in \(r\) contenuta in \(A\). Per definizione si ha \(\displaystyle A \supset \bigcup_{r\in A\cap \mathbb{Q}^n} A_r \). L'altra implicazione deriva dal fatto che per ogni \(\displaystyle a\in A \) esiste una palla aperta \(A_r\) che contiene \(\displaystyle a \). Per dimostrarlo, prendi la più grande palla aperta \(\displaystyle U_a = B( a, \rho ) \) intorno ad \(\displaystyle a\in A \). Quindi prendi un qualsiasi \(\displaystyle r \in \mathbb{Q}^n\cap B( a, 2^{-2}\rho ) \). Per la disuguaglianza triangolare hai che \(\displaystyle a\in B( r, 2^{-2}\rho ) \subset U_a \subset A \). Per la definizione di \(A_r\), \(\displaystyle B( r, 2^{-2}\rho ) \subset A_r \) e questo conclude la dimostrazione.
"vict85":
D'altra parte, ti bastava scrivere \(\displaystyle A = \bigcup_{r\in A\cap \mathbb{Q}^n} A_r \) dove \(\displaystyle A_r\) è la più grande palla aperta centrata in \(r\) contenuta in \(A\). Per definizione si ha \(\displaystyle A \supset \bigcup_{r\in A\cap \mathbb{Q}^n} A_r \). L'altra implicazione deriva dal fatto che per ogni \(\displaystyle a\in A \) esiste una palla aperta \(A_r\) che contiene \(\displaystyle a \). Per dimostrarlo, prendi la più grande palla aperta \(\displaystyle U_a = B( a, \rho ) \) intorno ad \(\displaystyle a\in A \). Quindi prendi un qualsiasi \(\displaystyle r \in \mathbb{Q}^n\cap B( a, 2^{-2}\rho ) \). Per la disuguaglianza triangolare hai che \(\displaystyle a\in B( r, 2^{-2}\rho ) \subset U_a \subset A \). Per la definizione di \(A_r\), \(\displaystyle B( r, 2^{-2}\rho ) \subset A_r \) e questo conclude la dimostrazione.
Mi piace come dimostrazione, è sicuramente più formale della mia
"vict85":
Non mi è chiaro cosa intendi con l'ultima frase.
L'ultima frase dice semplicemente che visto che in ognuno degli intervalli così selezionati è presente un numero razionale, si può usare tale numero per "numerare" l'intervallo, e quindi il numero di intervalli la cui unione è pari ad $A$ è un infinità numerabile.
"vict85":
Nota tra l'altro che quegli intorni non sono disgiunti. Quindi la dimostrazione, scritta così, è leggermente incompleta.
Ma quello che dici è falso, ognuno di quegli intervalli è il più grande contenuto in $A$, vuol dire che se prendo un altro punto di $A$, questo o appartiene all'intervallo appena selezionato, oppure no... e se non vi appartiene non è nemmeno possibile generare un nuovo intervallo interamente contenuto in $A$ che si intersechi con un intervallo precedentemente selezionato... altrimenti l'intervallo precedente non sarebbe il più grande possibile... in ogni caso forse ho generato confusione io perché ho fatto un refuso, ho scritto intorno, ma intendevo intervallo.
Ora che ci penso, fa molta differenza, perché gli intorni sono simmetrici, quindi è banale trovare un controesempio che mostra che quegli intorni in generale non sono disgiunti... Però volevo scrivere intervalli, solo che stavo pensando agli intorni in $R^n$ e quindi ho scritto intorni. Sorry
Ho capito da dove deriva l'incomprensione, dal fatto che il tuo intervallo non è centrato in quel punto. In tal caso, la tua dimostrazione non si estende banalmente per \(\mathbb{R}^n\) ma funzione per la retta reale. Di fatto stai suddividendo l'aperto nelle sue componenti connesse e poi le stai contando. Il problema per \(\mathbb{R}^n\) è che una componente connessa non ha sempre la forma di una palla aperta o di un intorno. E se unisci tra di loro due aperti disgiunti allora non puoi ricavarci qualcosa di connesso.
"vict85":
Ho capito da dove deriva l'incomprensione, dal fatto che il tuo intervallo non è centrato in quel punto. In tal caso, la tua dimostrazione non si estende banalmente per \(\mathbb{R}^n\) ma funzione per la retta reale. Di fatto stai suddividendo l'aperto nelle sue componenti connesse e poi le stai contando. Il problema per \(\mathbb{R}^n\) è che una componente connessa non ha sempre la forma di una palla aperta o di un intorno. E se unisci tra di loro due aperti disgiunti allora non puoi ricavarci qualcosa di connesso.
Esatto!!! In $\mathbb{R}^n$ la generalizzazione della mia dimostrazione porterebbe a dire che un aperto è l'unione di una quantità al più numerabile di suoi sottoinsiemi connessi e disgiunti, che però non so di che forma siano...
Con la tua dimostrazione, mostro che un aperto è unione al più numerabile di palle contenute in $A$ e per dimostrare invece quello che voglio io cioè che $A$ è unione al più numerabile di intervalli di $\mathbb{R}^n$ , basta ripercorre la tua dimostrazione scegliendo come metrica per la bolla $d(x,y)=max(|x_i-y_i|)$ , in questo modo ogni bolla è diciamo "quadrata" e quindi è unione di un numero finito di intervalli.
è corretto? oppure c'è anche una strada che mi permette di arrivare alla stessa conclusione senza cambiare metrica alla bolla?
Prova a dimostrare la seguente cosa:
Siano \(\displaystyle d_2(\mathbb{x}, \mathbb{y}) = \sqrt{ \sum_{i = 1}^n ( x_i - y_i )^2 } \) e \(\displaystyle d_{\infty}(\mathbb{x}, \mathbb{y}) = \max_{1\le i\le n} \lvert x_i - y_i \rvert \) due metriche su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).
Allora esistono \(\displaystyle c_1, c_2 \in \mathbb{R}_{> 0} \), tali che \(\displaystyle \forall \mathbb{x}, \mathbb{y}\in \mathbb{R}^n \), \(\displaystyle c_1 d_{\infty}(\mathbb{x}, \mathbb{y}) \le d_2(\mathbb{x}, \mathbb{y}) \le c_2 d_{\infty}(\mathbb{x}, \mathbb{y}) \). Sai trovarle? Sapresti dire come potresti usare questo risultato?
Siano \(\displaystyle d_2(\mathbb{x}, \mathbb{y}) = \sqrt{ \sum_{i = 1}^n ( x_i - y_i )^2 } \) e \(\displaystyle d_{\infty}(\mathbb{x}, \mathbb{y}) = \max_{1\le i\le n} \lvert x_i - y_i \rvert \) due metriche su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).
Allora esistono \(\displaystyle c_1, c_2 \in \mathbb{R}_{> 0} \), tali che \(\displaystyle \forall \mathbb{x}, \mathbb{y}\in \mathbb{R}^n \), \(\displaystyle c_1 d_{\infty}(\mathbb{x}, \mathbb{y}) \le d_2(\mathbb{x}, \mathbb{y}) \le c_2 d_{\infty}(\mathbb{x}, \mathbb{y}) \). Sai trovarle? Sapresti dire come potresti usare questo risultato?
Si questo è il teorema di equivalenza della metrica, anzi so dimostrare che in $\mathbb{R}^n$ tutte le metriche sono equivalenti(nel senso che esistono due costanti tali che valgono le disuguaglianze che hai scritto).
Per quanto riguarda "usare" questo risultato, in generale si, però in questo caso non sono sicuro, perché la cosa ovvia che mi dice è che data una palla $B$ con la metrica $d_2$ esistono due palle con la metrica $d_\infty$ centrate nello stesso punto della precedente , una che contiene $B$ e l'altra contenuta in $B$, e che quella contenuta ha raggio massimo pari a $\frac{r}{c_1}$... però questo è lo stesso che dire che ogni palla contiene un intervallo simmetrico di $\mathbb{R}^n$ centrato nel centro della palla...
Per quanto riguarda "usare" questo risultato, in generale si, però in questo caso non sono sicuro, perché la cosa ovvia che mi dice è che data una palla $B$ con la metrica $d_2$ esistono due palle con la metrica $d_\infty$ centrate nello stesso punto della precedente , una che contiene $B$ e l'altra contenuta in $B$, e che quella contenuta ha raggio massimo pari a $\frac{r}{c_1}$... però questo è lo stesso che dire che ogni palla contiene un intervallo simmetrico di $\mathbb{R}^n$ centrato nel centro della palla...
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