Antitrasformata zeta [in minuscolo!]

[zxcvbnm2]

Salve, ho risolto il seguente problema ai valori iniziali mediante Z-TRASFORMATA


y(n+2) + y(n) = n * cos (( pigrego * n) / 2)

con y(0) = y(1) = 0

risolvendolo trovo la seguente trasformata zeta

Y(z) = - (2 * z^2) / (z^2 + 1)^3

Ed è corretta perche l’ha vista il mio prof.
Ora dovrei antitrasformare la Y(z) per ottenere la soluzione...
qualcuno saprebbe aiutarmi!!!

Vi ringrazio

PS: sono nuovo, come faccio a scrivere le formule?

[size=75]N.B. Titolo modificato da luca.barletta[/size]

[_luca.barletta]

"zxcvbnm":
PS: sono nuovo, come faccio a scrivere le formule?

http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-t26179.html

Dài almeno una lettura al regolamento: non si scrive in maiuscolo.

[elgiovo]

Un metodo semplice di inversione è quello dell'integrale di linea:

$y[n]=-1/(2 pi i) oint_Gamma (2z^(k+1))/(z^2+1)^3dz$,

dove $Gamma$ racchiude le singolarità di $Y(z)$, ovvero $z_1=i$ e $z_2=-i$. L'integrale vale

$-sum_(k=1)^2 "Res"[(2z^(k+1))/(z^2+1)^3,z_k]=-1/8 *i^n *n* (n-2)-1/8*(-i)^n* n* (n-2)=-1/4 * n *(n-2)* cos ((n pi)/2)$.

[zxcvbnm2]

a me avevano parlato di un metodo, forse un pò più lungo, in cui si applicava iterativamente la formula della derivata della trasformazione zeta modificando opportunamente la Y(z)... comunque grazie per la risposta molto veloce!

PS: bel sito complimenti!

aspetto altri metodi se ne conoscete.... GRAZIE

[zxcvbnm2]

Elgiovo grazie per la tua risposta, ma dovrei chiederti un grande piacere... potresti farmi tutti i passaggi per arrivare al risultato (ad esempio come calcoli quei residui ecc...) fa conto che sono poco ferrato in materia purtroppo e devo portare questo esercizio svolto ad un esame e quindi dovrei saperglielo spiegare al prof.

inoltre per quel che ho capito io z2=-i non mi sembra essere una singolarità in quanto non annulla il denominatore -i^2=1!!! (perdonami se dico cretinate)

Ti ringrazio infinitamente per la tua disponibilità e aspetto tue risposte!

[elgiovo]

Fai meglio i tuoi conti: $i$ e $-i$ sono poli di ordine 3. I residui calcolati in tali valori sono

$A_(-i)=lim_(z to -i) 1/((3-1)!) (d/(dz))^(3-1) [(z+i)^3 (2z^(k+1))/(z^2+1)^3]=ldots=1/8*(-i)^k *k *(k-2)$;

$A_i=lim_(z to i) 1/((3-1)!) (d/(dz))^(3-1) [(z-i)^3 (2z^(k+1))/(z^2+1)^3]=ldots=1/8*(i)^k *k *(k-2)$.

Le derivate seconde (leggi: il lavoro sporco) come vedi le lascio a te.

[franced]

"elgiovo":
Le derivate seconde (leggi: il lavoro sporco) come vedi le lascio a te.

Anche per me oltre la derivata prima è tutto lavoraccio!!

[zxcvbnm2]

Grazie infinite elgiovo sei stato molto gentile

[zxcvbnm2]

Niente da fare... non ci riesco proprio a risolvere questa antitrasformata anche con l'aiuto delle formule di elgiovo!!! Il calcolo delle derivate è assurdo e sbaglio sempre qualcosa che alla fine non mi fa ritrovare col risultato!!! UFFA!!!

Non esistono altri metodi??? Vi prego qualcuno mi aiuti perchè devo portare questo esercizio all'esame.... purtroppo non sono bravissimo ed ho bisogno di tutti i passaggi per riuscirci a capire qualcosa!

Grazie a chiunque mi aiuti... mi affido a voi menti geniali!