Antitrasformata Z
Salve a tutti! Sto svolgendo per esercitazione delle antitrasformate ma purtroppo i risultati a cui giungo sono in disaccordo con gli appunti presi in classe.
Mi spiego.
So che
[tex]\mathcal{Z}\left[f(k-n)\right]=z^{-n}\mathcal{Z}\left[f(k)\right][/tex] (1)
e che
[tex]\mathcal{Z}\left[a^{k}\right]=\frac{z}{z-a}[/tex] (2)
Voglio quindi calcolare l'antitrasformata di
[tex]\frac{A}{\frac{5}{3}z+1}[/tex]
Cerco quindi di sfruttare i due teoremi precedenti facendo le seguenti manipolazioni
[tex]\frac{A}{\frac{5}{3}z+1}=\frac{3}{5}A\frac{1}{z+\frac{3}{5}}=\frac{3}{5}Az^{-1}\frac{z}{z-(-\frac{3}{5})}[/tex]
Siccome dalla (2) so che l'antitrasformata del termine [tex]\frac{z}{z-(-\frac{3}{5})}[/tex] è $(-3/5)^k$, e dalla (1) deduco che il termine $z^{-1}$ mi "costringe a scrivere" $k-1$ al posto di $k$, ne deduco che
[tex]\mathcal{Z}^{-1}\left[\frac{A}{\frac{5}{3}z+1}\right]=\mathcal{Z}^{-1}\left[\frac{3}{5}Az^{-1}\frac{z}{z-(-\frac{3}{5})}\right]=\frac{3}{5}A\left(-\frac{3}{5}\right)^{k-1}[/tex]
Purtroppo gli appunti presi a lezione (e confrontati con quelli del mio collega) non sono concordi, infatti stando agli appunti
[tex]\mathcal{Z}^{-1}\left[\frac{A}{\frac{5}{3}z+1}\right]=A\left(-\frac{5}{3}\right)^{k-1}[/tex]
Dove ho sbagliato???[/tex]
Mi spiego.
So che
[tex]\mathcal{Z}\left[f(k-n)\right]=z^{-n}\mathcal{Z}\left[f(k)\right][/tex] (1)
e che
[tex]\mathcal{Z}\left[a^{k}\right]=\frac{z}{z-a}[/tex] (2)
Voglio quindi calcolare l'antitrasformata di
[tex]\frac{A}{\frac{5}{3}z+1}[/tex]
Cerco quindi di sfruttare i due teoremi precedenti facendo le seguenti manipolazioni
[tex]\frac{A}{\frac{5}{3}z+1}=\frac{3}{5}A\frac{1}{z+\frac{3}{5}}=\frac{3}{5}Az^{-1}\frac{z}{z-(-\frac{3}{5})}[/tex]
Siccome dalla (2) so che l'antitrasformata del termine [tex]\frac{z}{z-(-\frac{3}{5})}[/tex] è $(-3/5)^k$, e dalla (1) deduco che il termine $z^{-1}$ mi "costringe a scrivere" $k-1$ al posto di $k$, ne deduco che
[tex]\mathcal{Z}^{-1}\left[\frac{A}{\frac{5}{3}z+1}\right]=\mathcal{Z}^{-1}\left[\frac{3}{5}Az^{-1}\frac{z}{z-(-\frac{3}{5})}\right]=\frac{3}{5}A\left(-\frac{3}{5}\right)^{k-1}[/tex]
Purtroppo gli appunti presi a lezione (e confrontati con quelli del mio collega) non sono concordi, infatti stando agli appunti
[tex]\mathcal{Z}^{-1}\left[\frac{A}{\frac{5}{3}z+1}\right]=A\left(-\frac{5}{3}\right)^{k-1}[/tex]
Dove ho sbagliato???[/tex]
Risposte
Non so cosa siano le antitrasformate, ma se si tratta di controllare i passaggi posso provare a darti una mano.
Due domande però:
A è una costante?
Se ho $Z(C*f(k))$ con $C$ costante vale che $Z(C*f(k))=C*Z(f(k))?
Due domande però:
A è una costante?
Se ho $Z(C*f(k))$ con $C$ costante vale che $Z(C*f(k))=C*Z(f(k))?
domanda... tu intendi la trasformata Z bilatera o unilatera?
perchè se intendi la trasformata Z bilatera, cioè $Z[f(n)](z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(n) z^{-n}$ allora c'è qualcosa che non va.... perchè
$Z[a^n](z) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (a z^(-1))^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (a z^(-1))^n + \sum_{n=-\infty}^{-1} (a z^(-1))^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (a z^(-1))^n + \sum_{k=1}^{+\infty} (a^(-1) z)^{k}$ e la prima serie converge se $|a z^{-1}| < 1$ cioè $|z|>|a|$, mentre la seconda converge se $|a^(-1) z| < 1$ cioè $|z| < |a|$
da cui le serie non possono convergere contemporaneamente!
Se intendi la trasformata Z bilatera, allora devi considerare la sequenza $a^n u(n)$, con $u(n)=\{(1, n>= 0),(0, n < 0):}$
da cui la sua trasformata Z è $Z[a^n u(n)](z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a^n z^(-n)$ che converge se $|z| > |a|$ e si ottiene $1/(1-a*z^(-1)) = z/(z-a)$
ed è per la trasformata Z bilatera che vale la proprietà che hai enunciato ovvero $Z[f(n-k)](z) = z^{-k}Z[f(n)](z)$ infatti per definizione $Z[f(n-k)](z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(n-k) z^{-n}$, ponendo $n-k=h$ si ha $\sum_{h=-\infty}^{+\infty} f(h) z^{-(h+k)} = z^(-k) Z[f(n)](z)$
questa cosa invece è falsa se si usa la trasformata Z unilatera che è definita come $Z_u[f(n)](z) = \sum_{n=0}^{+\infty} f(n) z^{-n}$, ma la proprietà di traslazione risulta essere
$Z_u[f(n-k)](z) = \sum_{n=0}^{+\infty} f(n-k) z^{-n} = \sum_{h=-k}^{+\infty} f(h) z^{-(h+k)} = z^{-k} [Z_u[f(n)](z) + \sum_{h=-k}^{-1} f(h) z^{-h}]$
Nel caso in cui $f(n)$ è causale, cioè nulla per ogni $n < 0$ allora le due trasformate coincidono.
Inoltre bisogna fare attenzione, poiché la stessa trasformata Z può essere originata da sequenze diverse, bisogna associare sempre la ROC (regione di convergenza) che si vuole antitrasformare.
Esempio banale:
$Z[u(n)](z) = 1/(1-z^{-1})$ per $|z| > 1$
$Z[-u(-n-1)](z) = 1/(1-z^{-1})$ per $|z| < 1$
Nel tuo esempio, avendo $A/(5/3 z + 1) = 3/5*A * z^-1 *1/(1+3/5*z^-1)$ supponendo di considerare la ROC che da origine alla sequenza causale, cioè $|z| > 3/5$ si ha
$3/5*A (-3/5)^(n-1) u(n-1)$, mentre supponendo che la ROC sia quella che da origine alla sequenza anticausale, cioè $|z| < 3/5$ si ha $-3/5*A (-3/5)^(n-1) u(-n)$
perchè se intendi la trasformata Z bilatera, cioè $Z[f(n)](z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(n) z^{-n}$ allora c'è qualcosa che non va.... perchè
$Z[a^n](z) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (a z^(-1))^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (a z^(-1))^n + \sum_{n=-\infty}^{-1} (a z^(-1))^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (a z^(-1))^n + \sum_{k=1}^{+\infty} (a^(-1) z)^{k}$ e la prima serie converge se $|a z^{-1}| < 1$ cioè $|z|>|a|$, mentre la seconda converge se $|a^(-1) z| < 1$ cioè $|z| < |a|$
da cui le serie non possono convergere contemporaneamente!
Se intendi la trasformata Z bilatera, allora devi considerare la sequenza $a^n u(n)$, con $u(n)=\{(1, n>= 0),(0, n < 0):}$
da cui la sua trasformata Z è $Z[a^n u(n)](z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a^n z^(-n)$ che converge se $|z| > |a|$ e si ottiene $1/(1-a*z^(-1)) = z/(z-a)$
ed è per la trasformata Z bilatera che vale la proprietà che hai enunciato ovvero $Z[f(n-k)](z) = z^{-k}Z[f(n)](z)$ infatti per definizione $Z[f(n-k)](z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(n-k) z^{-n}$, ponendo $n-k=h$ si ha $\sum_{h=-\infty}^{+\infty} f(h) z^{-(h+k)} = z^(-k) Z[f(n)](z)$
questa cosa invece è falsa se si usa la trasformata Z unilatera che è definita come $Z_u[f(n)](z) = \sum_{n=0}^{+\infty} f(n) z^{-n}$, ma la proprietà di traslazione risulta essere
$Z_u[f(n-k)](z) = \sum_{n=0}^{+\infty} f(n-k) z^{-n} = \sum_{h=-k}^{+\infty} f(h) z^{-(h+k)} = z^{-k} [Z_u[f(n)](z) + \sum_{h=-k}^{-1} f(h) z^{-h}]$
Nel caso in cui $f(n)$ è causale, cioè nulla per ogni $n < 0$ allora le due trasformate coincidono.
Inoltre bisogna fare attenzione, poiché la stessa trasformata Z può essere originata da sequenze diverse, bisogna associare sempre la ROC (regione di convergenza) che si vuole antitrasformare.
Esempio banale:
$Z[u(n)](z) = 1/(1-z^{-1})$ per $|z| > 1$
$Z[-u(-n-1)](z) = 1/(1-z^{-1})$ per $|z| < 1$
Nel tuo esempio, avendo $A/(5/3 z + 1) = 3/5*A * z^-1 *1/(1+3/5*z^-1)$ supponendo di considerare la ROC che da origine alla sequenza causale, cioè $|z| > 3/5$ si ha
$3/5*A (-3/5)^(n-1) u(n-1)$, mentre supponendo che la ROC sia quella che da origine alla sequenza anticausale, cioè $|z| < 3/5$ si ha $-3/5*A (-3/5)^(n-1) u(-n)$
Effettivamente la trasformata che utilizzo è la unilatera, però la sfrutto su funzioni causali (sto facendo automatica), quindi effettivamente come hai detto tu le due antitrasformate coincidono come tu hai detto, quindi cercando di comprendere il ragionamento che hai fatto devo dedurre di non aver sbagliato ad antitrasformare 
Mi dispiace non averla studiata con la dedizione necessaria ma solo in maniera approssimativa, motivo per il quale spesso si cade in tali errori/dubbi stupidi grazie per l'aiuto
Mi dispiace non averla studiata con la dedizione necessaria ma solo in maniera approssimativa, motivo per il quale spesso si cade in tali errori/dubbi stupidi
grazie per l'aiuto
la cosa che si avvicina di più al risultato dei tuoi appunti sarebbe $z^{-1} * A/(1+5/3*z^{-1})$ con $|z| > 5/3$, ma se questa dovesse essere la funzione di trasferimento di un sistema tempo-discreto... sarebbe causale (la ROC è l'esterno di un cerchio) ed instabile (la ROC non contiene la circonferenza $|z| = 1$)
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