Antitrasformata di Laplace problema calcolo

[claudio_p88]

ho il seguente sistema:
\(\displaystyle y''-4y+4=0 \)
\(\displaystyle y(0)=b \)
\(\displaystyle y'(0)=0 \)
ho risoloto così: \(\displaystyle Y(s)=\frac{sb-4}{s^2-4} \), per calcolarmi l'antitrasformata ho deciso di usare la scomposizione in fratti semplici, quindi \(\displaystyle \frac{sb-4}{s^2-4} = \frac{A}{(s-2)}+\frac{B}{s+2}\) da cui ricavo
\(\displaystyle As+2A+Bs-2B = s(A+B)+2A-2B \) per risolvere metto a sistema ed ottengo
\(\displaystyle A+B = b \)
\(\displaystyle 2A-2B = -4 \)
risolvendo tale sistema mi viene \(\displaystyle A = \frac{1}{2}b-1 \) e \(\displaystyle B =\frac{1}{2}b+1 \)
ora vado a sostituire i sisultati trovati ed ottengo:
\(\displaystyle (\frac{1}{2}b-1)\frac{1}{s-2}+(\frac{1}{2}b+1)\frac{1}{s+2} \), ora so che l'antitrasformata di \(\displaystyle \frac{1}{s+a}=e^{at} \) e quindi antitrasformando ottengo \(\displaystyle (\frac{1}{2}b-1)e^-2t+(\frac{1}{2}b+1)e^{2t} \),
ora quello che non riesco a capire è il risultato esatto di tale esercizio sia \(\displaystyle y(t) = (b-1)cosh(2t)+1 \), logicamente so che \(\displaystyle cosh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \), ho provato a ragionarci un po' sopra, ma non mi riesco a spiegare come arrivi a tale risultato, cioè applicando la formula mi viene \(\displaystyle b(cosh(2t))+e^{2t}-e^{-2t} \)

[Summerwind78]

Ciao

credo che tu abbia sbagliato a risolvere l'equazione differenziale con la trasformata

trasformando la tua equazione di partenza io ottengo

$s^2 Y(s) -sb-4Y(s)+4/s=0$

che semplificata ma da

$Y(s) = (s^2 b-4)/(s(s^2-4))$

prova a vedere se adesso ti viene l'antitrasformata corretta

[claudio_p88]

grazie, ora torna mi blocco su questi stupidi errori di distrazione.