Antitrasformata di Laplace

[daertu]

Salve a tutti! ^_^

E' da un paio di giorni che mi arrovello sulla dimostrazione della formula di Heaviside per determinare l'antitrasformata di Laplace di funzioni razionali proprie che hanno esclusivamente poli semplici, ossia detti $R(s)$ e $Q(s)$ due polinomi tali che $deg(R)
$F(s)=\frac{R(s)}{Q(s)}$
$L^{-1}[F](t)=\sum_{i=1}^{n}\frac{R(s_i)}{Q'(s_i)}e^{s_i t}

Dove $Q'$ è la derivata prima di $Q$.

Il mio problema è che la dimostrazione che mi ritrovo sugli appunti parte in quarta e dice che l'integrale di antitrasformazione

$L^{-1}[F](t)=\frac{1}{i2\pi}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty}F(s)e^{st}ds$

si può calcolare utilizzando il teorema dei residui anche se il cammino di integrazione non è un circuito di Jordan, e da qui in poi il passo è breve. Solo che io vorrei capire perchè si può fare questa cosa!

Dato che il professore è partito e non posso andare a ricevimento e poichè io non ho la minima idea di come iniziare, help me!

Grazie a tutti.

[elgiovo]

Il passaggio da integrale di linea "retta" a integrale su una curva di Jordan si giustifica considerando due casi:

I) Numero finito di poli
Considera il percorso $C$: linea verticale $L$ da $alpha-j Omega$ a $alpha+jOmega$ + arco $Gamma$ di un cerchio di raggio $R$. Dal lemma di Jordan

$F(s)to 0$ per $|s|to oo$ su $Gamma$,

quindi per $t>0$

$int_Gamma e^(st)F(s)"d"s to 0$ per $R to oo$,

e siccome

$int_(alpha-jOmega)^(alpha+jOmega) e^(st)F(s)"d"s to int_(alpha-joo)^(alpha+joo)e^(st)F(s)"d"s$ per $Omega to oo$

concludiamo che

$f(t)=lim_(R to oo) 1/(2pij) oint_C e^(st) F(s)"d"s$.

Se $R$ è abbastanza grande da contenere tutti i poli di $F(s)$ l'integrale lungo $C$ è indipendente da $R$, quindi

$f(t)=1/(2 pi j) oint_C e^(st)F(s)"d"s$ per $R>max_(p) |p_k|$,

dove $p_k$ è il $k$-esimo polo di $F(s)$.

I) Numero infinito di poli
Non è più vero che $F(s) to 0$ sull'arco $Gamma$, per $R to oo$. Infatti, potrebbe essere infinita se uno dei poli è su $Gamma$. Si può però considerare una sequenza di archi $Gamma_1$, $Gamma_2$, $ldots$, $Gamma_n$, $ldots$, con raggi tendenti all'infinito, tali che

$F(s) to 0$ per $s to oo$ su $Gamma_n$.

Applicando il lemma di Jordan agli integrali lungo questi archi,

$int_(Gamma_n)e^(st)F(s)"d"s to 0$ per $n to oo$ e $t>0$,

e con $C_n$ curva chiusa composta da: $Gamma_n$ + linea verticale $"Re"=alpha$, si ha come prima

$f(t)=lim_(n to oo) 1/(2 pi j) oint_(C_n) e^(st) F(s)"d"s$, $t>0$.

[daertu]

Grazie mille!