Antitrasformata di laplace
Determinare l'antitrasformata di Laplace di $f(s)=(sens)/(s^2+1)
Risposte
Applicando la formula di inversione complessa in questo caso di ottiene...
$phi(t)= L^(-1) [f(s)]= sum_k R_k [f(s)*e^(s*t)]$ (1)
... dove le $R_k$ sono i residui dei poli di $f(s)*e^(s*t)$. In questo caso è $f(s)= sin s/(s^2+1)$ per cui i residui sono in $s=+j$ e $s=-j$. Non ti resta che fare dei conti e in questo sei certo più bravo di me...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$phi(t)= L^(-1) [f(s)]= sum_k R_k [f(s)*e^(s*t)]$ (1)
... dove le $R_k$ sono i residui dei poli di $f(s)*e^(s*t)$. In questo caso è $f(s)= sin s/(s^2+1)$ per cui i residui sono in $s=+j$ e $s=-j$. Non ti resta che fare dei conti e in questo sei certo più bravo di me...
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lupo grigio
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La cosa mi ha incuriosito e ho provato a fare i conti... risulta:
$sins/(s^2+1) = (e^(js)-e^(-js))/(2j) 1/(s^2+1) = 1/(2j) [ (e^(js))/(s^2+1) - (e^(-js))/(s^2+1) ]$
Ma
$L^(-1)[(e^(js))/(s^2+1)] = sin(t+j)u(t+j)$
$L^(-1)[(e^(-js))/(s^2+1)] = sin(t-j)u(t-j)$
dove $u(t)$ è la funzione gradino... ma la funzione gradino centrata su un numero complesso ha senso? equivale a centrarla sulla parte reale di tale numero?
$sins/(s^2+1) = (e^(js)-e^(-js))/(2j) 1/(s^2+1) = 1/(2j) [ (e^(js))/(s^2+1) - (e^(-js))/(s^2+1) ]$
Ma
$L^(-1)[(e^(js))/(s^2+1)] = sin(t+j)u(t+j)$
$L^(-1)[(e^(-js))/(s^2+1)] = sin(t-j)u(t-j)$
dove $u(t)$ è la funzione gradino... ma la funzione gradino centrata su un numero complesso ha senso? equivale a centrarla sulla parte reale di tale numero?
Ragazzi
l’intervento di Kroldar mi ha messo la classica ‘pulce nell’orecchio’ e così ho svolto il calcolo che avevo lasciato ‘in sospeso’. Il risultato sarebbe…
$L^(-1) [sin s/(s^2+1)] = sum_k R_k [sin s/(s^2+1)*e^(s*t)]=$
$=lim_(s->j) sin s/(s+j)*e^(s*t)+lim_(s->-j) sin s/(s-j)*e^(s*t)$ (1)
Con un poco di pazienza si trova che l’espressione (1) vale $(e-1/e)*cos t$… già!… peccato che la L-trasformata di questa espressione sia...
$L[(e-1/e)*cos t]= (e-1/e)*s/(s^2+1) ne sin s/(s^2+1)$ (2)
Evidentemente c’è qualcosa che non và nella impostazione che ho dato. In effetti ho applicato [ a modo mio…] la formula di inversione complessa…
$L^(-1) [f(s)] = 1/(2*pi*j)*int _(c-j*oo)^(c+j*oo) f(s)*e^(s*t)*ds$ (3)
Facendo riferimento alla figura seguente…
… se si indica con $C$ il percorso ABCA e con $Gamma$ il percorso BCA , si ha…
$L^(-1)[f(s)] =lim_(R->oo) 1/(2*pi*j)*[int_C f(s)*e^(s*t)*ds –int_(Gamma) f(s)*e^(s*t)*ds]$ (4)
Ora è possibile applicare il teorema dei residui per il calcolo della (4) solo se per $R->oo$ il secondo integrale tende a zero. Perchè ciò si verifichi devono esistere due numeri $M$ e $k$ entrambi $>0$ tali che su $Gamma$ sia …
$|f(s)|
Sfortunatamente [verificare per esercizio…] sull’asse immaginario [$s=j*w$…] la funzione $sin s$ cresce come un esponenziale così che la (5) non è verificata. Pertanto il problema si trovare $L^(-1) [sin s/(s^2+1)]$ occorre risolverlo per altra via… sorry!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
l’intervento di Kroldar mi ha messo la classica ‘pulce nell’orecchio’ e così ho svolto il calcolo che avevo lasciato ‘in sospeso’. Il risultato sarebbe…
$L^(-1) [sin s/(s^2+1)] = sum_k R_k [sin s/(s^2+1)*e^(s*t)]=$
$=lim_(s->j) sin s/(s+j)*e^(s*t)+lim_(s->-j) sin s/(s-j)*e^(s*t)$ (1)
Con un poco di pazienza si trova che l’espressione (1) vale $(e-1/e)*cos t$… già!… peccato che la L-trasformata di questa espressione sia...
$L[(e-1/e)*cos t]= (e-1/e)*s/(s^2+1) ne sin s/(s^2+1)$ (2)
Evidentemente c’è qualcosa che non và nella impostazione che ho dato. In effetti ho applicato [ a modo mio…] la formula di inversione complessa…
$L^(-1) [f(s)] = 1/(2*pi*j)*int _(c-j*oo)^(c+j*oo) f(s)*e^(s*t)*ds$ (3)
Facendo riferimento alla figura seguente…
… se si indica con $C$ il percorso ABCA e con $Gamma$ il percorso BCA , si ha…
$L^(-1)[f(s)] =lim_(R->oo) 1/(2*pi*j)*[int_C f(s)*e^(s*t)*ds –int_(Gamma) f(s)*e^(s*t)*ds]$ (4)
Ora è possibile applicare il teorema dei residui per il calcolo della (4) solo se per $R->oo$ il secondo integrale tende a zero. Perchè ciò si verifichi devono esistere due numeri $M$ e $k$ entrambi $>0$ tali che su $Gamma$ sia …
$|f(s)|
Sfortunatamente [verificare per esercizio…] sull’asse immaginario [$s=j*w$…] la funzione $sin s$ cresce come un esponenziale così che la (5) non è verificata. Pertanto il problema si trovare $L^(-1) [sin s/(s^2+1)]$ occorre risolverlo per altra via… sorry!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Scrivendo ancora una volta la formula di inversione complessa...
$L^(-1) [sin s/(s^2+1)] = 1/(2*pi*j)*int_(c-j*oo)^(c+j*oo) sin s/(s^2+1)*e^(s*t)*dt$ (1)
... con la sostituzione $s=c+j*w$ l'integrale diviene...
$1/(2*pi)*int_(-oo)^(+oo) sin (c+j*w)/(1+(c+j*w)^2)* e^(c*t)*e^(j*w*t)*dw$ (2)
... integrale che, siccome è...
$sin(c+j*w)= cosh w*sin c + j*sinh w*cos c$ (3)
... per ogni $c>0$ è divergente. Si deduce pertanto che la trasformata inversa di $f(s)=sin s/(s^2+1)$ non esiste...
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
$L^(-1) [sin s/(s^2+1)] = 1/(2*pi*j)*int_(c-j*oo)^(c+j*oo) sin s/(s^2+1)*e^(s*t)*dt$ (1)
... con la sostituzione $s=c+j*w$ l'integrale diviene...
$1/(2*pi)*int_(-oo)^(+oo) sin (c+j*w)/(1+(c+j*w)^2)* e^(c*t)*e^(j*w*t)*dw$ (2)
... integrale che, siccome è...
$sin(c+j*w)= cosh w*sin c + j*sinh w*cos c$ (3)
... per ogni $c>0$ è divergente. Si deduce pertanto che la trasformata inversa di $f(s)=sin s/(s^2+1)$ non esiste...
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
Il testo dice espressamente di calcolarla;poichè è un compito del mio prof posso dire che ci sono esercizi in cui dice:"Determinare,se esiste,eccetera....".
Per qui non mettere il "se esiste",mi lascia pensare che la trasformata esiste.
Naturalmente non ci metto la mano sul fuoco
Per qui non mettere il "se esiste",mi lascia pensare che la trasformata esiste.
Naturalmente non ci metto la mano sul fuoco
Caro Ainèias
naturalmente neppure io metto la mano… no anzi… la zampa sul fuoco …
Per saperne di più andiamo a consultare un testo assai ‘titolato’, una vera e propria ‘Bibbia’ del sapere matematico: M. Abramowitz & I. Stegun Handbook of Mathematical Functions. La Trasformata di Laplace è al cap. 29. pp 1025-1035. In appendice sono riportate in tutto 107 coppie funzioni in $s$ e $t$ tali che $phi(t)=L^(-1)[f(s)]$. Ebbene tra queste non vi è una sola $f(s)$ che contiene la variabile complessa $s$ come argomento di una funzione circolare diretta… in altre parole in nessuna compaiono termini come $sin s$, $cos s$, tan $s$, etc…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
naturalmente neppure io metto la mano… no anzi… la zampa sul fuoco
… Per saperne di più andiamo a consultare un testo assai ‘titolato’, una vera e propria ‘Bibbia’ del sapere matematico: M. Abramowitz & I. Stegun Handbook of Mathematical Functions. La Trasformata di Laplace è al cap. 29. pp 1025-1035. In appendice sono riportate in tutto 107 coppie funzioni in $s$ e $t$ tali che $phi(t)=L^(-1)[f(s)]$. Ebbene tra queste non vi è una sola $f(s)$ che contiene la variabile complessa $s$ come argomento di una funzione circolare diretta… in altre parole in nessuna compaiono termini come $sin s$, $cos s$, tan $s$, etc…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
Caro Ainèias
naturalmente neppure io metto la mano… no anzi… la zampa sul fuoco
Per saperne di più andiamo a consultare un testo assai ‘titolato’, una vera e propria ‘Bibbia’ del sapere matematico: M. Abramowitz & I. Stegun Handbook of Mathematical Functions. La Trasformata di Laplace è al cap. 29. pp 1025-1035. In appendice sono riportate in tutto 107 coppie funzioni in $s$ e $t$ tali che $phi(t)=L^(-1)[f(s)]$. Ebbene tra queste non vi è una sola $f(s)$ che contiene la variabile complessa $s$ come argomento di una funzione circolare diretta… in altre parole in nessuna compaiono termini come $sin s$, $cos s$, tan $s$, etc…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Sarà pure una Bibbia ma non ci sono le trasformate di fourier!!!!!!!!!!!
In effetti la ‘Bibbia’ di Abrramovitz e Stegun, pur non essendo datata dai tempi dell’Antico Testamento, non è più stata aggiornata dagli anni ’50 e sa un poco di ‘vecchiotto’… Proviamo allora con A.D. Paularikas: The Transforms and Applications Handbook. Edito nel 2000, interamente dedicato alle trasformate [la trattazione della Trasformata di Fourier è eccellente e sono forniti numerosi esempi…], può essere considerato come una specie di Summa Teologica. Alla Trasformata di Laplace è dedicato il capitolo 5 [pp 403-478], al termine del quale sono riportate 245 coppie di funzioni $f(s)->phi(t)$, con $phi(t)= L^(-1) [f(s)]$. Anche qui nessuna delle $f(s)$ contiene termini del tipo $sin s$ o $cos s$… nessuna tranne la coppia nr. 217 che è…
$f(s)= [pi/2-Si(s)]*cos s + Ci(s)*sin s -> phi(t)= 1/(1+t^2)$ (1)
… dove le funzioni $Si(s)$ e $Ci(s)$ devono intendersi con ogni probabilità rispettivamente come ‘seno integrale’ e ‘coseno integrale’. E’ chiaro che questo è da considerarsi un caso del tutto ‘singolare’ e che di norma funzioni contenenti termini del tipo $sin s$ e $cos s$ non sono Trasformate di Laplace di alcuna funzione in $t$…
cordiali saluti
lupo grigio
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$f(s)= [pi/2-Si(s)]*cos s + Ci(s)*sin s -> phi(t)= 1/(1+t^2)$ (1)
… dove le funzioni $Si(s)$ e $Ci(s)$ devono intendersi con ogni probabilità rispettivamente come ‘seno integrale’ e ‘coseno integrale’. E’ chiaro che questo è da considerarsi un caso del tutto ‘singolare’ e che di norma funzioni contenenti termini del tipo $sin s$ e $cos s$ non sono Trasformate di Laplace di alcuna funzione in $t$…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Anche io ero giunto agli stessi risultati di lupo grigio e mi ero insospettito, poiché trasformando la soluzione che avevo trovato, non mi ritornava la stessa funzione di partenza. Speravo semplicemente che la mia interpretazione del gradino con argomento complesso fosse errata (in sostanza congetturava che un gradino centrato su un numero complesso è pari al gradino centrato nella parte reale di tale numero complesso)... invece il risultato che lupo grigio ha trovato conferma tutto... Non credo proprio che un professore possa dare quell'esercizio a un esame...
"Kroldar":
Anche io ero giunto agli stessi risultati di lupo grigio e mi ero insospettito, poiché trasformando la soluzione che avevo trovato, non mi ritornava la stessa funzione di partenza. Speravo semplicemente che la mia interpretazione del gradino con argomento complesso fosse errata (in sostanza congetturava che un gradino centrato su un numero complesso è pari al gradino centrato nella parte reale di tale numero complesso)... invece il risultato che lupo grigio ha trovato conferma tutto... Non credo proprio che un professore possa dare quell'esercizio a un esame...
e invece devi crederci....l'ha dato!
"Ainéias":
e invece devi crederci....l'ha dato!
Per curiosità, puoi chiedere al tuo professore qual è la soluzione?
"Kroldar":
[quote="Ainéias"]
e invece devi crederci....l'ha dato!
Per curiosità, puoi chiedere al tuo professore qual è la soluzione?[/quote]
Secondo me si potrebbe partire dal calcolo di $f^{\prime}(s)$ e antitrasformare....
"lupo grigio":
Facendo riferimento alla figura seguente…
ma questa figura è un programma o che?..
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