Antitrasformata di Laplace

[emitrax]

Qualcuno saprebbe indicarmi un buon link dal quale studiare (e capire) l'antitrasformata di Laplace?

La trasformata l'ho capita bene, ma la trasformata inversa no (a causa di appunti scadenti presi da me a lezione).

Ad esempio, come antitrasformo la seguente

$(s-2)/(5(s^2+1))$

O ancora, come risolvo il seguente problema di cauchy con l'antitrasformata

$y'(t) + y(t) + 2z(t) = 0$
$z'(t) - 2y(t) + z(t) = 0$
$y(0) = 4$
$z(0) = 0$

I problemi di cauchy con la trasformata li so fare, anche se non benissimo. Ma l'antitrasformata... no.

[_Tipper]

"emitrax":Ad esempio, come antitrasformo la seguente

$(s-2)/(5(s^2+1))$

Basta scriverla come:

$\frac{1}{5}(\frac{s}{s^2+1}-2\frac{1}{s^2+1})$, ora l'antitrasformata risulta:

$\frac{1}{5}(\cos(t)-2\sin(t))$

Ricorda infatti che $\mathcal{L}[\cos(\omega_0 t)]=\frac{s^2}{s^2+\omega_0^2}$, invece $\mathcal{L}[\sin(\omega_0 t)]=\frac{\omega_0^2}{s^2+\omega_0^2}$

[_Tipper]

"emitrax":I problemi di cauchy con la trasformata li so fare, anche se non benissimo. Ma l'antitrasformata... no.

Scusa?!? Una volta fatta la trasformata, per risolverli, si deve fare anche l'antitrasformata...

Ad ogni modo trasformando tutto secondo Laplace si ottiene:

$\{(sY(s)-y(0)+Y(s)+2Z(s)=0),(sZ(s)-z(0)-2Y(s)+Z(s)=0):}$

Ora prova a risolvere il sistema e ad antitrasformare, se hai qualche problema posta pure.

[emitrax]

"Tipper":
Scusa?!? Una volta fatta la trasformata, per risolverli, si deve fare anche l'antitrasformata...

Si hai ragione, ma ho avuto a che fare solo con antitrasformate immediate, del tipo $1/s$ o $s/(s^2+w^2)$

Comunque adesso provo.

Grazie come sempre.

EDIT:Risolvendo ottengo

$Z(s) = 8/(s^2+2s+s)$
$Y(s) = (4(s+1))/(s^2+2s+5)$
Ma non ho idea sul come antitrasformare. Potresti spiegarmi, o indicarmi qualche dispensa per capire come dovrei operare?

[_nicola de rosa]

"emitrax":[quote="Tipper"]
Scusa?!? Una volta fatta la trasformata, per risolverli, si deve fare anche l'antitrasformata...

Si hai ragione, ma ho avuto a che fare solo con antitrasformate immediate, del tipo $1/s$ o $s/(s^2+w^2)$

Comunque adesso provo.

Grazie come sempre.

EDIT:Risolvendo ottengo

$Z(s) = 8/(s^2+2s+s)$
$Y(s) = (4(s+1))/(s^2+2s+5)$
Ma non ho idea sul come antitrasformare. Potresti spiegarmi, o indicarmi qualche dispensa per capire come dovrei operare?[/quote]
$Y(s) =4*(s+1)/((s+1)^2+4)->y(t)=4*L^(-1)[(s+1)/((s+1)^2+4)]=4e^(-t)cos(2t)$
$Z(s)=8/((s+1)^2+4)=4*2/((s+1)^2+4)->z(t)=4*L^(-1)[2/((s+1)^2+4)]=4e^(-t)sin(2t)$

[_nicola de rosa]

"Tipper":[quote="emitrax"]Ad esempio, come antitrasformo la seguente

$(s-2)/(5(s^2+1))$

Basta scriverla come:

$\frac{1}{5}(\frac{s}{s^2+1}-2\frac{1}{s^2+1})$, ora l'antitrasformata risulta:

$\frac{1}{5}(\cos(t)-2\sin(t))$

Ricorda infatti che $\mathcal{L}[\cos(\omega_0 t)]=\frac{s^2}{s^2+\omega_0^2}$, invece $\mathcal{L}[\sin(\omega_0 t)]=\frac{\omega_0^2}{s^2+\omega_0^2}$[/quote]
$\mathcal{L}[\cos(\omega_0 t)]=\frac{s}{s^2+\omega_0^2}$, invece $\mathcal{L}[\sin(\omega_0 t)]=\frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}$

[_Tipper]

Sì, mi sono scappate due potenze che non c'erano.

[kinder1]

qui http://calvino.polito.it/~tilli/dida/laplace.pdf non trovi tutta la teoria dell'antitrasformata, ma comunque un utile aiuto per affrontare i problemi

[emitrax]

"kinder":qui http://calvino.polito.it/~tilli/dida/laplace.pdf non trovi tutta la teoria dell'antitrasformata, ma comunque un utile aiuto per affrontare i problemi

Grazie mille.

Googlando ho visto che c'è un metodo risolutivo tramite il teorema dei residui, ma non ho trovato dispense. Qualcuno
ha una dispensa da suggermi su questo argomento?

Ancora grazie!

[_Tipper]

Prova questa.

[emitrax]

Ok comincio a vedere un po di luce. In pratica l'antitrasformata è data dalla sommatoria dei residui della trasformata.
Dove nel calcolo dei residui si moltiplica per $e^(st)$.
Ma non ho ben capito se ci sono particolari ipotesi per questo procedimento.