Antitrasformata di laplace

[Shika93]

Devo calcolare l'antitrasformata di $U(S)=\frac{1}{(s+1)^2(s-2)}$
Lo calcolo tramite i residui:

$u(t)=H(t)(res(U(S), -1)+res(U(S), 2))$ dove $-1$ è un polo doppio e $2$ un polo semplice.

$H(t)(\lim_{s \mapsto -1 } \frac{d}{ds}[\frac{e^{st}}{s-2}]+\lim_{s \mapsto 2 } \frac{e^{st}}{(s+1)^2})=H(t)(-\frac{te^-t}{9}- \frac{e^-t}{9}+ \frac{e^2t}{9})$

Ho guardato su wolframalpha il risultato e mi manca un 3 a numeratore del primo termine del mio risultato, ma non capisco da dove arrivi.

http://m.wolframalpha.com/input/?i=inve ... 29&x=0&y=0

Sapete dirmi dove sbaglio?

[Summerwind78]

Ciao

se scomponi il tuo polinomio di laplace hai

$1/((s+1)^2(s-2)) = a/(s+1) + b/(s+1)^2 + c/(s-2)$

facendo un po' di calcoli troverai che

$a = -1/9$
$b= -1/3$
$c= 1/9$

quindi
$1/((s+1)^2(s-2)) = -1/9 1/(s+1) - 1/3 1/(s+1)^2 + 1/9 1/(s-2) = 1/9(-1/(s+1) -3/(s+1)^2 + 1/(s-2)) $


ricordando che
$L^-1 (1/(S-a)) = e^(ax)$
$L^-1 (1/(S-a)^2) = xe^(ax)$

abbiamo che

$L^-1 (1/(S+1)) = e^(-x)$
$L^-1 (1/(S+1)^2) = xe^(-x)$
$L^-1 (1/(S-2)) = e^(2x)$

applicato al tuo caso quindi

$L^-1 (1/((s+1)^2(s-2))) = L^-1 (1/9(-1/(s+1) -3/(s+1)^2 + 1/(s-2))) = 1/9 L^-1(-1/(s+1) -3/(s+1)^2 + 1/(s-2))$

che pertanto diventa

$1/9 (-e^(-x) -3 xe^(-x) + e^(2x)) = 1/9 e^(-x)(-1 -3 x + e^(3x)) $

che mi pare essere proprio il risultato che hai visto su wolfram