Antitrasformata di Laplace

[quee]

Ciao , ho risolto


usando le trasformate di laplace , ottenendo

$y(s)= \frac{1+e^{-2s\pi }-2e^{-s\pi}}{s(1+s^2)}= \frac{1+e^{2s\pi }-2e^{s\pi}}{e^{2s\pi}s(1+s^2)}=\frac{(e^{s\pi}-1)^2}{e^{2s\pi}s(1+s^2)}$

Ora non so come calcolare l'antitrasformata . Ho provato a dividere per fratti semplici ma viene un casino

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Come detto più volte da altri moderatori, sei tenuto (regolamento, 3.8) ad inserire i testi degli esercizi con le formule scritte in TeX.

Ti do il tempo di modificare questo post.
Se non è cambiato nulla in giornata, chiudo.[/xdom]

Mi sembra che qui convenga risolvere tutto usando la convoluzione, invece di mettersi ad antitrasformare.
Infatti, la funzione di trasferimento è:
\[
W(s) = \frac{1}{s^2+1}
\]
la cui anitrasformata è \(w(t) = \sin t \cdot \operatorname{u}(t)\) (in cui \(\operatorname{u}(\cdot)\) è il gradino unitario), dunque la soluzione del problema è la convoluzione \(w*f\), in cui \(f\) è il termine noto della EDO.
Per il calcolo della convoluzione, hai:
\[
\begin{split}
w*f(t) &= \int_0^\infty w(t-\tau)\cdot f(\tau)\ \text{d} \tau \\
&= \int_0^\pi \sin (t-\tau) \operatorname{u}(t-\tau)\ \text{d} \tau - \int_\pi^{2\pi} \sin (t-\tau) \operatorname{u}(t-\tau)\ \text{d} \tau\\
&= \int_0^{\min \{t,\pi\}} \sin (t-\tau)\ \text{d} \tau - \operatorname{u}(t-\pi)\cdot \int_\pi^{\min \{ t,2\pi \}} \sin (t-\tau)\ \text{d} \tau
\end{split}
\]
in cui i \(\min\) ed il gradino \(\operatorname{u}(t-\pi)\) vengono fuori per la presenza dei gradini all'interno degli integrali.
Esplicitamente:

[*:1nx8ggpb] se \(t\leq \pi\)
\[
\begin{split}
y(t) &= \int_0^t \sin (t-\tau)\ \text{d} \tau \\
&= \left. \cos (t-\tau)\right|_0^t\\
&= 1-\cos t\; ;
\end{split}
\]
[/*:m:1nx8ggpb]
[*:1nx8ggpb] se \(\pi \[
\begin{split}
y(t) &= \int_0^\pi \sin (t-\tau)\ \text{d} \tau - \int_\pi^{t} \sin (t-\tau)\ \text{d} \tau\\
&= \left. \cos (t-\tau)\right|_0^\pi - \left. \cos(t-\tau) \right|_\pi^t \\
&= \cos (t-\pi) - \cos t - \left( 1 - \cos (t-\pi)\right)\\
&= -1 - 3 \cos t\; ;
\end{split}
\]
[/*:m:1nx8ggpb]
[*:1nx8ggpb] se \(2\pi \[
\begin{split}
y(t) &= \int_0^\pi \sin (t-\tau)\ \text{d} \tau - \int_\pi^{2\pi} \sin (t-\tau)\ \text{d} \tau\\
&= \left. \cos (t-\tau)\right|_0^\pi - \left. \cos(t-\tau) \right|_\pi^{2\pi} \\
&= \cos (t-\pi) - \cos t - \left( \cos(t-2\pi) - \cos (t-\pi)\right)\\
&= - 4 \cos t\; ;
\end{split}
\][/*:m:1nx8ggpb][/list:u:1nx8ggpb]
dunque:
\[
y(t) = \begin{cases} 1-\cos t &\text{, se } 0\leq t \leq \pi \\ -1-3\cos t &\text{, se } \pi < t \leq 2\pi \\ - 4 \cos t &\text{, se } t>2\pi\end{cases}
\]