Antitrasformata di Laplace
Ciao a tutti ho dato un'occhiata ad un po' di esercizi risolti sulla antitrasformata di laplace, vorrei sapere se ho capito giusto. Per far l'antitrasformata di Laplace, basta (consultando il formulario) scrivere la distribuzione o funzione corrispondente?
Risposte
Negli esemi di matematica che ho fatto non sono state trattate. Ma ho visto che esistono delle tabelle in cui vengono riportate le antitrasformate relative alle operazioni/esercizi da fare. Il trucco è quindi riportare l'operazione/esercizio da svolgere secondo l'antitrasformata relativa ad esso.
Io all'esame ho questo formulario(ne posto un estratto, sinistra distribuzione destra trasformate) 
, quello che mi chiedo è se posso passare da un lato all'altro senza dover modificare niente.
, quello che mi chiedo è se posso passare da un lato all'altro senza dover modificare niente.
Proviamo una verifica? 
. Risolvere l'antitrasformata di Laplace di
$y''-2y' -3y= e^{2x}$ , con le condizioni iniziali $y(0)=2$, $y'(0)=1$
. Risolvere l'antitrasformata di Laplace di$y''-2y' -3y= e^{2x}$ , con le condizioni iniziali $y(0)=2$, $y'(0)=1$
Ciao, scusa ma non ho capito l'esercizio, le y sono derivate? A cosa servono le condizioni iniziali?
Allora, abbiamo l'equazione differenziale:
$y''-2y' -3y= e^{2x}$
e le condizioni iniziali $y(0)=2$, $y'(0)=1$
La funzione termine noto è:
$f(x)= e^{2x}$
la cui trasformata di Laplace è:
$\mathcal{L}_f (t)=\frac{1}{t-2}$
Inoltre per le proprietà della trasformata di Laplace:
$\mathcal{L}_{y'}(t)= t\mathcal{L}_{y}(t)-y(0)$
mentre:
$\mathcal{L}_{y''}(t)= t^2\mathcal{L}_{y}(t)-ty(0)-y'(0)$
Sostituendo nella equazione:
$t^2\mathcal{L}_{y}(t)-ty(0)-y'(0)-2(t\mathcal{L}_{y}(t)-y(0))-3\mathcal{L}_{y}(t)= \mathcal{L}_{f}(t)$
Sostituiamo i parametri:
$t^2\mathcal{L}_{y}(t)-2t-1-2(t\mathcal{L}_{y}(t)-2)-3\mathcal{L}_{y}(t)= \frac{1}{t-2}$
Sviluppiamo i conti:
$t^2\mathcal{L}_{y}(t)-2t-1-2t\mathcal{L}_{y}(t)+4-3\mathcal{L}_{y}(t)= \frac{1}{t-2}$
$(t^2-2t-3)\mathcal{L}_{y}(t)= \frac{1}{t-2}+2t+1-4$
Da cui:
$\phi(t)=\mathcal{L}_{y}(t)= \frac{2t^2-7t+7}{(t-2)(t^2-2t-3)}$
A questo punto con l'antitrasformata calcoliamo la funzione incognita $y$, per farlo dobbiamo utilizzare i fratti semplici così da semplificare la funzione da antitrasformare:
$\frac{2t^2-7t+7}{(t-2)(t^2-2t-3)}=[\mbox{fratti semplici}]\frac{1}{t-3}-\frac{1}{3(t-2)}+\frac{4}{3(t+1)}$
Pertanto:
$y(x)=\mathcal{L}^{-1}_{\phi}(x)=\frac{4}{3}e^{-x}-\frac{e^{2x}}{3}+e^{3x}$
$y''-2y' -3y= e^{2x}$
e le condizioni iniziali $y(0)=2$, $y'(0)=1$
La funzione termine noto è:
$f(x)= e^{2x}$
la cui trasformata di Laplace è:
$\mathcal{L}_f (t)=\frac{1}{t-2}$
Inoltre per le proprietà della trasformata di Laplace:
$\mathcal{L}_{y'}(t)= t\mathcal{L}_{y}(t)-y(0)$
mentre:
$\mathcal{L}_{y''}(t)= t^2\mathcal{L}_{y}(t)-ty(0)-y'(0)$
Sostituendo nella equazione:
$t^2\mathcal{L}_{y}(t)-ty(0)-y'(0)-2(t\mathcal{L}_{y}(t)-y(0))-3\mathcal{L}_{y}(t)= \mathcal{L}_{f}(t)$
Sostituiamo i parametri:
$t^2\mathcal{L}_{y}(t)-2t-1-2(t\mathcal{L}_{y}(t)-2)-3\mathcal{L}_{y}(t)= \frac{1}{t-2}$
Sviluppiamo i conti:
$t^2\mathcal{L}_{y}(t)-2t-1-2t\mathcal{L}_{y}(t)+4-3\mathcal{L}_{y}(t)= \frac{1}{t-2}$
$(t^2-2t-3)\mathcal{L}_{y}(t)= \frac{1}{t-2}+2t+1-4$
Da cui:
$\phi(t)=\mathcal{L}_{y}(t)= \frac{2t^2-7t+7}{(t-2)(t^2-2t-3)}$
A questo punto con l'antitrasformata calcoliamo la funzione incognita $y$, per farlo dobbiamo utilizzare i fratti semplici così da semplificare la funzione da antitrasformare:
$\frac{2t^2-7t+7}{(t-2)(t^2-2t-3)}=[\mbox{fratti semplici}]\frac{1}{t-3}-\frac{1}{3(t-2)}+\frac{4}{3(t+1)}$
Pertanto:
$y(x)=\mathcal{L}^{-1}_{\phi}(x)=\frac{4}{3}e^{-x}-\frac{e^{2x}}{3}+e^{3x}$
Grazie mille molto esaustivo
Prego, l'importante è risolvere. In bocca al lupo.
[xdom="gugo82"]
L'importante non è "risolvere" e basta, ma "risolvere con onestà".
Ti avevo già esortato a fornire contributi originali al forum; ma tu continui a copia-incollare testi recuperati in giro per il web.
Il tuo post è copiato da qui senza citare la fonte.
Ma questo non è il primo caso, poiché altri tuoi post sono copia-incollati senza la dovuta menzione della fonte. Ad esempio:
"Luca97":
Prego, l'importante è risolvere. In bocca al lupo.
L'importante non è "risolvere" e basta, ma "risolvere con onestà".
Ti avevo già esortato a fornire contributi originali al forum; ma tu continui a copia-incollare testi recuperati in giro per il web.
Il tuo post è copiato da qui senza citare la fonte.
Ma questo non è il primo caso, poiché altri tuoi post sono copia-incollati senza la dovuta menzione della fonte. Ad esempio:
- [*:3rnzzflf] Uno (liberamente tratto da questo scritto di Luca Lussardi, nostro amministratore)
[/*:m:3rnzzflf]
[*:3rnzzflf] Due (copia-incollato da qui)
[/*:m:3rnzzflf]
[*:3rnzzflf] E tre (preso ancora da ****).[/*:m:3rnzzflf][/list:u:3rnzzflf]
Dato che, in ambito scientifico, citare come propri contributi dati altri è considerato un crimine e dato che su questo forum intendiamo diffondere una corretta cultura scientifica, l'amministrazione non può far altro che prendere seri provvedimenti.[/xdom]
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