Antitrasformata di Fourier in L 1
Salve a tutti, avrei un dubbio sulla antitrasformata di Fourier per funzioni che sono in L1:
(che cosa orribile non poter utilizzare Word con le funzioni di Math) cmq il problema sorge
per il fatto che non è detto che se la funzione appartiene ad L1 e quindi il suo integrale tra più e meno infinito è limitato allora la sua trasformata goda della sua stessa propietà.
Questo significa che può succedere che l'integrale di antitrasformazione non esista, per cui
si usa moltiplicare la trasformata per una funzione molto regolare che la "schiacci" all'infinito,
cioè che ne faccia convergere l'integrale.
Il problema l'ho riscontrato in una di questa funzioni :
g(y)=(1-exp(-jy/n))/(jy/n)
il problema sorge perchè a meno infinot questo funzione non va a zero (per y che va a meno infinito)
la antitrasformata risulterebbe :
f(x) = integrale tra - + infinito di exp(jxy)* F(y)*g(y) facendone il limite per n che va all'infinito
grazie a tutti[/code]
(che cosa orribile non poter utilizzare Word con le funzioni di Math) cmq il problema sorge
per il fatto che non è detto che se la funzione appartiene ad L1 e quindi il suo integrale tra più e meno infinito è limitato allora la sua trasformata goda della sua stessa propietà.
Questo significa che può succedere che l'integrale di antitrasformazione non esista, per cui
si usa moltiplicare la trasformata per una funzione molto regolare che la "schiacci" all'infinito,
cioè che ne faccia convergere l'integrale.
Il problema l'ho riscontrato in una di questa funzioni :
g(y)=(1-exp(-jy/n))/(jy/n)
il problema sorge perchè a meno infinot questo funzione non va a zero (per y che va a meno infinito)
la antitrasformata risulterebbe :
f(x) = integrale tra - + infinito di exp(jxy)* F(y)*g(y) facendone il limite per n che va all'infinito
grazie a tutti[/code]
Risposte
non ho capito molto, ma mi iscrivo alla discussione poichè l'argomento è importante
ciao mi dispiace
ciao mi dispiace
"ramses23":
(che cosa orribile non poter utilizzare Word con le funzioni di Math)
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6289
"ramses23":
Questo significa che può succedere che l'integrale di antitrasformazione non esista, per cui
si usa moltiplicare la trasformata per una funzione molto regolare che la "schiacci" all'infinito,
cioè che ne faccia convergere l'integrale.
Non ho capito molto bene il problema (forse perche' sulle trasformate non sono proprio un "asso"
) Comunque se moltiplichi la funzione per un'altra funzione prima di fare l'integrale non penso che si ottenga l'antitrasformata di Fourier (io non ho mai sentito di questa tecnica).... al massimo ottieni un'altra trasformazione integrale (tipo Laplace).
D'altronde ci sono molte funzioni che non sono le trasformate di funzioni $L^1$. Se le moltiplichi per la $F$ giusta rischi di tirare fuori delle antitrasformate che non esistono! Ad esempio con quel procedimento potresti anti-trasformare la funzione identicamente uguale a $1$ e trovare un'anti-trasformata in $L^1$ (se ho capito bene quello che dici di fare), ma cio' e' chiaramente assurdo visto che $1$ e' la trasformata della distribuzione di Dirach che non solo non e' una funzione di $L^p$, ma non e' nemmeno una funzione!
ramses ti spiego subito come si risolve il problema che hai notato: se $ x $ appartiene a $ L^1 $ allora la sua trasformata $ X $ è infinitesima a $ -oo $ e $ +oo $ ... tuttavia ciò non vuol dire che $ X $ sia sommabile, come già hai precisato tu. Ma, se ciò non accade, ovvero se $ X $ non è sommabile, l'integrale di antitrasformazione va inteso nel senso del valor principale e questo risolve il problema dell'assoluta convergenza.
bisogna saperlo questo scioglilingua?
"Bandit":
bisogna saperlo questo scioglilingua?
... Direi di sì se vuoi superare l'esame di metodi.
innanzi tutto vi ringrazio davvero per le risposte che mi avete dato, siete stati molto gentili.
In effeti avevo spiegato il problema in un modo molto oscuro: provo a rifarlo.
Il problema di antitrasformare in $L^1$ consiste in questo : se $X(t) in L^1$ allora non è detto che la sua
trasformata di Fourier $Y(f)$ sia anch'essa in $L^1$.
Detto ciò si capisce che l'integrale di antitrasformazione :
$int_-oo^oo Y(f)*e^(j*x*f)*df$
potrebbe non convergere.
Allora si usa definire l'integrale di antitrasformazione (lezione di Metodi Matematici del prof. Carlo Domenico Pagani, Politecnico di Milano) in un modo differente.
Si prende in considerazione una funzione molto regolare che possa essere moltiplicata per $Y(f)$ garantendone la convergenza senza però cambiarne il senso.
Un esempio di questo tipo di (quello fatto a lezione) è la successione di funzioni:
$Psi(f) = (1-e^(-j*f//n))//(j*f//n)$
come si vede questa successione è particolare perchè :
$lim_(n->+oo)(1-e^(-j*f//n))//(j*f//n) = 1$ (tende alla funzione costante a 1)
ed inoltre
$lim_(f->0)(1-e^(-j*f//n))//(j*f//n) = 1$
$lim_(f->+oo)(1-e^(-j*f//n))//(j*f//n) = 0$
(il mio problema è poi $lim_(f->-oo)(1-e^(-j*f//n))//(j*f//n) = ???$)
per cui a questo punto la definizione di antitrasformazione diventa :
$lim_(n->+oo) int_-oo^oo (Y(f)*e^(j*x*f)* )(1-e^(-j*f//n))//(j*f//n) df)$
Quindi si vede come quella successione di funzioni dovvrebbe aiutare l'integrale a convergere pur non intaccando la
trasformata dato che questa stessa successione tende alla costante 1 per n che va all'infinito.
IL MIO PROBLEMA riguarda il $-oo$ perchè è lì che, per come è scritta la funzione $Psi(f)$ questa non converge, figuriamoci se può aiutare l'integrale a convergere, tutt'al più questo diverge, secondo me.
Poichè questi sono appunti dalle lezioni del Prof potrebbe magari essere sbagliata la funzione $Psi(f)$... avevo pensato che ci potrebbe essere un modulo da qulche parte... non so perchè così com'è non converge per f a meno infinito.
Qualcuno a mai visto qualcosa del genere?
sa cosa diavolo può essere quella funzione?
Grazie a tutti.
In effeti avevo spiegato il problema in un modo molto oscuro: provo a rifarlo.
Il problema di antitrasformare in $L^1$ consiste in questo : se $X(t) in L^1$ allora non è detto che la sua
trasformata di Fourier $Y(f)$ sia anch'essa in $L^1$.
Detto ciò si capisce che l'integrale di antitrasformazione :
$int_-oo^oo Y(f)*e^(j*x*f)*df$
potrebbe non convergere.
Allora si usa definire l'integrale di antitrasformazione (lezione di Metodi Matematici del prof. Carlo Domenico Pagani, Politecnico di Milano) in un modo differente.
Si prende in considerazione una funzione molto regolare che possa essere moltiplicata per $Y(f)$ garantendone la convergenza senza però cambiarne il senso.
Un esempio di questo tipo di (quello fatto a lezione) è la successione di funzioni:
$Psi(f) = (1-e^(-j*f//n))//(j*f//n)$
come si vede questa successione è particolare perchè :
$lim_(n->+oo)(1-e^(-j*f//n))//(j*f//n) = 1$ (tende alla funzione costante a 1)
ed inoltre
$lim_(f->0)(1-e^(-j*f//n))//(j*f//n) = 1$
$lim_(f->+oo)(1-e^(-j*f//n))//(j*f//n) = 0$
(il mio problema è poi $lim_(f->-oo)(1-e^(-j*f//n))//(j*f//n) = ???$)
per cui a questo punto la definizione di antitrasformazione diventa :
$lim_(n->+oo) int_-oo^oo (Y(f)*e^(j*x*f)* )(1-e^(-j*f//n))//(j*f//n) df)$
Quindi si vede come quella successione di funzioni dovvrebbe aiutare l'integrale a convergere pur non intaccando la
trasformata dato che questa stessa successione tende alla costante 1 per n che va all'infinito.
IL MIO PROBLEMA riguarda il $-oo$ perchè è lì che, per come è scritta la funzione $Psi(f)$ questa non converge, figuriamoci se può aiutare l'integrale a convergere, tutt'al più questo diverge, secondo me.
Poichè questi sono appunti dalle lezioni del Prof potrebbe magari essere sbagliata la funzione $Psi(f)$... avevo pensato che ci potrebbe essere un modulo da qulche parte... non so perchè così com'è non converge per f a meno infinito.
Qualcuno a mai visto qualcosa del genere?
sa cosa diavolo può essere quella funzione?
Grazie a tutti.
in effetti ho controllato adesso che mettendoci un modulo alla f in $Psi(f)$ la funzione a meno infinito converge e va tutto bene... forse era semplicemente quello il problema..
Grazie a tutti
Grazie a tutti
ramses... se devo essere sincero questo metodo di moltiplicare la funzione per $ psi $ per far convergere l'integrale di antitrasformazione non l'ho mai sentito... a me hanno insegnato invece che l'integrale di antitrasformazione, qualora diverga, può essere inteso nel senso del valor principale
anche io non l'ho mai sentito
Anche per me e' nuovo!
Grazie lo stesso a tutti voi per la disponibilità...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo