Antitrasformata di Fourier
Dovrei antitrasformare la seguente funzione:
$Λ(A|f|-3)e^(-j(π/6 Af)$ Ho osservato che essa è Hermitiana,dunque la sua antitrasformata deve essere reale,però a me viene:
$(1/A)sinc^2(t/A-A/12)e^(j(6πt/A))$ per $f>0$
$(1/A)sinc^2(t/A-A/12)e^(-j(6πt/A))$ per $f<0$
per $Λ(t)$ intendo una finestra triangolare centrata in zero avente durata temporale pari a 2 e valore in zero pari ad 1.Ho sfruttato il fatto che $sinc^2(t)=Λ(f)$;secondo voi ho fatto bene?...Grazie
$Λ(A|f|-3)e^(-j(π/6 Af)$ Ho osservato che essa è Hermitiana,dunque la sua antitrasformata deve essere reale,però a me viene:
$(1/A)sinc^2(t/A-A/12)e^(j(6πt/A))$ per $f>0$
$(1/A)sinc^2(t/A-A/12)e^(-j(6πt/A))$ per $f<0$
per $Λ(t)$ intendo una finestra triangolare centrata in zero avente durata temporale pari a 2 e valore in zero pari ad 1.Ho sfruttato il fatto che $sinc^2(t)=Λ(f)$;secondo voi ho fatto bene?...Grazie
Risposte
Una funzione $f(x)$ si dice Hermitiana se
$f(-x)=f^*(x)$
dove il simbolo $*$ indica l'operatore di coniugazione. E' facile vedere che nel tuo caso non vale.
$f(-x)=f^*(x)$
dove il simbolo $*$ indica l'operatore di coniugazione. E' facile vedere che nel tuo caso non vale.
Ho disegnato modulo e fase della funzione da antitrasformare,il modulo mi viene pari mentre la fase dispari;perchè dici che non è hermitiana?
Dalla definizione di funzione Hermitiana che ti ho dato ne consegue che essa risulta esserlo se
1) La sua parte reale è una funzione pari.
2) La sua parte immaginaria è una funzione dispari.
Sia $X(f)$ la funzione da te indicata, avremo:
$Re{X(f)}=\Lambda(A|f|-3)cos(\pif/6A)$
$Im{X(f)}=-\Lambda(A|f|-3)sin(\pif/6A)$
La parte reale è pari mentre quella immaginaria dispari. Effettivamente è hermitiana, pardon (prima ho risposto "a volo"). Mi sembra che la tua antitrasformata sia infatti reale. Se sommi le due componenti ottenute, metti in evidenza la parte comune, moltiplichi e dividi per 2, otterai la funzione coseno e dunque la trasformata reale.
1) La sua parte reale è una funzione pari.
2) La sua parte immaginaria è una funzione dispari.
Sia $X(f)$ la funzione da te indicata, avremo:
$Re{X(f)}=\Lambda(A|f|-3)cos(\pif/6A)$
$Im{X(f)}=-\Lambda(A|f|-3)sin(\pif/6A)$
La parte reale è pari mentre quella immaginaria dispari. Effettivamente è hermitiana, pardon (prima ho risposto "a volo"). Mi sembra che la tua antitrasformata sia infatti reale. Se sommi le due componenti ottenute, metti in evidenza la parte comune, moltiplichi e dividi per 2, otterai la funzione coseno e dunque la trasformata reale.
Mi lascia perplesso il fatto che l'anti-trasformata dipenda ancora dalla variabile "f" che dovrebbe spartire...
Si infatti non è formalmente corretto scrivere così. L'ho interpretato come separazione delle trasformate. E' come se avesse scritto:
$x(t)=\int_(-\infty)^0X(f)e^(-j2\pif)df+\int_0^(+\infty)X(f)e^(-j2\pift)df$
$x(t)=\int_(-\infty)^0X(f)e^(-j2\pif)df+\int_0^(+\infty)X(f)e^(-j2\pift)df$
La funzione $Lambda(A|f|-3)$ rappresenta due trinagoli uno centrato in $3/A$ e $-3/A$ di durata $2/A$ ciascuna.
Quindi il calcolo può essere facilitato riscrivendo il tutto come:
$Lambda(A*f-3)*e^(-j*A/6*pi*f)+Lambda(A*f+3)*e^(-j*A/6*pi*f)$
da qui applicando le formule di antitrasformazione dovrebbe risultare
$1/Asinc^2(t/A-1/12)*(e^(j*6/A*pi*t)+e^(-j*6/A*pi*t))=1/Asinc^2(t/A-1/12)*2*cos(6/A*pi*t)$
Quindi il calcolo può essere facilitato riscrivendo il tutto come:
$Lambda(A*f-3)*e^(-j*A/6*pi*f)+Lambda(A*f+3)*e^(-j*A/6*pi*f)$
da qui applicando le formule di antitrasformazione dovrebbe risultare
$1/Asinc^2(t/A-1/12)*(e^(j*6/A*pi*t)+e^(-j*6/A*pi*t))=1/Asinc^2(t/A-1/12)*2*cos(6/A*pi*t)$
"clrscr":
La funzione $Lambda(A|f|-3)$ rappresenta due trinagoli uno centrato in $3/A$ e $-3/A$ di durata $2/A$ ciascuna.
Quindi il calcolo può essere facilitato riscrivendo il tutto come:
$Lambda(A*f-3)*e^(-j*A/6*pi*f)+Lambda(A*f+3)*e^(-j*A/6*pi*f)$
da qui applicando le formule di antitrasformazione dovrebbe risultare
$1/Asinc^2(t/A-1/12)*(e^(j*6/A*pi*t)+e^(-j*6/A*pi*t))=1/Asinc^2(t/A-1/12)*2*cos(6/A*pi*t)$
Grazie mille
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