Antitrasformata
Ciao ragazzi. Ho dei problemi a comprendere questa antitrasformata: $Z_u^(-1)[z(z/(z-1)^3)]$ qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come si svolgono in generale ad in particolare questa?
So che devo usare queste due formule: $Z[a(n+k)]=z^kZ[a(n)]$; $Z[n(n-1)u(n-1)]=(2z)/(z-1)^3$ ma non riesco a capire come
devo combinarle insieme per ottenere il risultato del libro che è $(n(n-1)u(n-1))/2$
Io ho svolto in questo modo: ho interpretato quello che c'è tra parentesi quadre come la convoluzione tra due successioni $a(z)$ e $b(z)$.
Quindi so che $Z[a*b]=Z[a]*Z$ quindi avrei: $sum_(n = 0)^(infty) z*sum_(n = 0)^(infty) (z)/(z-1)^3$
adesso però ho problemi a sviluppare la prima serie, devo svilupparla come una serie di potenze normale oppure devo considerare la definizione di trasformata unilatera?
P.S. potreste dirmi anche come si scrive in formula una trasformata? xD
So che devo usare queste due formule: $Z[a(n+k)]=z^kZ[a(n)]$; $Z[n(n-1)u(n-1)]=(2z)/(z-1)^3$ ma non riesco a capire come
devo combinarle insieme per ottenere il risultato del libro che è $(n(n-1)u(n-1))/2$
Io ho svolto in questo modo: ho interpretato quello che c'è tra parentesi quadre come la convoluzione tra due successioni $a(z)$ e $b(z)$.
Quindi so che $Z[a*b]=Z[a]*Z$ quindi avrei: $sum_(n = 0)^(infty) z*sum_(n = 0)^(infty) (z)/(z-1)^3$
adesso però ho problemi a sviluppare la prima serie, devo svilupparla come una serie di potenze normale oppure devo considerare la definizione di trasformata unilatera?
P.S. potreste dirmi anche come si scrive in formula una trasformata? xD
Risposte
L'antitrasformata da calcolare è la seguente?
$ z^2/(z-1)^3 $
Se è così si fa facilmente con i fratti semplici
$ z^2/(z-1)^3 $
Se è così si fa facilmente con i fratti semplici
Ciao marshall. Si, in realtà io devo calcolare l'antitrasformata di $(z^2)/(z-1)^3$ ed il mio libro lo porta addirittura come soluzione immediata, non dice nulla riguardo i fratti semplici. Dice soltanto di usare quelle due formule che ho scritto sopra. 
EDIT: ho trovato questa formula $Z^(-1)[f*g]=Z^(-1)[f]*Z^(-1)[g]$ che è semplice da applicare ma, questa la posso applicare solo se ciò che devo trasformare è una convoluzione. La mia lo è? Supponiamo sia una convoluzione, come viene l'antitrasformata di $z$?
EDIT: ho trovato questa formula $Z^(-1)[f*g]=Z^(-1)[f]*Z^(-1)[g]$ che è semplice da applicare ma, questa la posso applicare solo se ciò che devo trasformare è una convoluzione. La mia lo è? Supponiamo sia una convoluzione, come viene l'antitrasformata di $z$?
Anche io sono alle prime armi, ma non credo che l antitrasformata di z sia semplice. Io lo farei con i fratti semplici,anche perché non è detto che sia prodotto di convoluzione!
Buongiorno marshall. Credo di aver trovato la risposta la problema. Voglio condividerla in modo da avere conferma di non aver sbagliato qualcosa. Allora ho ragionato cosi: se la trasformata di una successione è definita cosi $Z[a(n)]=sum (a(n))/z^n $ allora l'operazione antitrasformata deve restituirmi l'espressione di $a(n)$ e fin qui ci siamo. Io so che, in sostanza, calcolare la trasformata di una successione significa sviluppare la serie secondo Laurent nella corona circolare di centro 0 e raggio r opportuno. Infatti la mia successione $a(n)$ è definita come $a(n)=c_(-n)=1/(2\pij)int_(\gamma)^() f(z)z^(n-1)$.
Io ho provato a calcolarlo per la successione relativa a $Z_u^(-1)[z]$ ed in pratica ottengo due soluzioni che sono: $\{(0, n!=-1),(1, n=-1):}$
Con un pò di intuito si capisce che siccome devo ottenere quel risultato, allora qui si è scelto come soluzione dell'integrale: $1$,
in modo da ottenere la soluzione all'antitrasformata e cioè $Z_u^(-1)[z/(z-1)^3]$. L'unica cosa che ancora non mi è chiara è il motivo della scelta $n=-1$! Se si sta parlando di trasformate unilatere allora avrei ottenuto $0$.
Per favore qualcuno può fare chiarezza e dirmi cortesemente se il mio ragionamento è sbagliato ed ho scritto solo stupidagini? Nel qual caso mi scuso ma sono confuso.
Io ho provato a calcolarlo per la successione relativa a $Z_u^(-1)[z]$ ed in pratica ottengo due soluzioni che sono: $\{(0, n!=-1),(1, n=-1):}$
Con un pò di intuito si capisce che siccome devo ottenere quel risultato, allora qui si è scelto come soluzione dell'integrale: $1$,
in modo da ottenere la soluzione all'antitrasformata e cioè $Z_u^(-1)[z/(z-1)^3]$. L'unica cosa che ancora non mi è chiara è il motivo della scelta $n=-1$! Se si sta parlando di trasformate unilatere allora avrei ottenuto $0$.
Per favore qualcuno può fare chiarezza e dirmi cortesemente se il mio ragionamento è sbagliato ed ho scritto solo stupidagini? Nel qual caso mi scuso ma sono confuso.
Io non ti seguo perché non so se è giusto. Detto questo a mio avviso la strada immediata dovrebbe essere la scomposizione in fratti semplici. Comunque la cosa interessa anche me.
ok marshall...ho provato anche cosi ma non riesco ad andare avanti. La funzione che ho, scomposta mi viene:
$(z^2)/(z-1)^3=1/(z-1)+(2z-1)/(z-1)^3$.
Ora, per la linearità della trasformata, devo applicare l'antitrasformata ad entrambe le funzioni e farne la somma giusto? Se cosi fosse come faccio a calcolare le antitrasformate di quelle due?
Anche applicando le formule non mi viene lo stesso risultato del libro.
EDIT: il mio libro risolve in questo modo: scrive $Z_u^(-1)[1/(z-1)^3]=((n-1),(2))*u(n-3)=((n-1)(n-2))/2u(n-3)$.
Qui applica una semplice formula ma comunque non mi trovo con questo risultato(1° dubbio).
Poi scrive $Z_U^(-1)[(z^2)/(z-1)^3]=((n+1)n)/2u(n-1)$ (2° dubbio).
$(z^2)/(z-1)^3=1/(z-1)+(2z-1)/(z-1)^3$.
Ora, per la linearità della trasformata, devo applicare l'antitrasformata ad entrambe le funzioni e farne la somma giusto? Se cosi fosse come faccio a calcolare le antitrasformate di quelle due?
Anche applicando le formule non mi viene lo stesso risultato del libro.
EDIT: il mio libro risolve in questo modo: scrive $Z_u^(-1)[1/(z-1)^3]=((n-1),(2))*u(n-3)=((n-1)(n-2))/2u(n-3)$.
Qui applica una semplice formula ma comunque non mi trovo con questo risultato(1° dubbio).
Poi scrive $Z_U^(-1)[(z^2)/(z-1)^3]=((n+1)n)/2u(n-1)$ (2° dubbio).
Vediamo una semplicissima applicazione della proprietà di traslazione.
Supponiamo di voler antitrasformare una funzione del tipo \(z^k\ f(z)\), cioè di voler calcolare:
\[
\mathcal{Z}_u^{-1} [z^k\ f(z)](n)\; ,
\]
ove \(k\in \mathbb{Z}\) è fissato ed \(f(z)\) è una funzione antitrasformabile in un dominio "causale", cioè in un intorno circolare di \(\infty\) del tipo \(|z|>r\) (con \(r>0\)).
Detta \(a(n)\) l'antitrasformata di \(f(z)\), i.e. l'unica successione tale che \(f(z)=\mathcal{Z}[a(n)](z)\) per \(|z|>r\), dalla proprietà di traslazione discende che:
\[
\mathcal{Z}[a(n+k)](z) = z^k\ \mathcal{Z}[a(n)](z)= z^k\ f(z)\; ,
\]
sicché la funzione \(z^k\ f(z)\) è antitrasformabile in \(|z|>r\) e si ha:
\[
\tag{I} \mathcal{Z}^{-1}[z^k\ f(z)](n)=\mathcal{Z}^{-1}[f(z)](n+k)
\]
cioè l'antitrasformata di \(z^k\ f(z)\) coincide con la \(k\)-traslata dell'antitrasformata di \(f(z)\).
Stabilito ciò, nel tuo caso si vuole calcolare \(\mathcal{Z}^{-1}[z^2/(z-1)^3]\) essendo noto che la funzione \(f(z):=z/(z-1)^3\) è antitrasformabile.
La (I) usata con \(k=1\) importa:
\[
\mathcal{Z}^{-1}[z\ f(z)](n) = \mathcal{Z}^{-1}[f(z)](n+1)
\]
quindi per risolvere l'esercizio bisogna calcolare semplicemente \(\mathcal{Z}^{-1}[f(z)]\) e traslare il risultato.
Se l'antitrasformata di \(f(z)\) è nota, allora l'esercizio finisce qui; altrimenti si può proseguire come illustrato di seguito.
Abbiamo:
\[
f(z) = \frac{z}{(z-1)^3} = \frac{z}{2}\ \frac{2}{(z-1)^3} = \frac{z}{2}\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{1}{(z-1)^2}\right]
\]
cosicché, per la regola di derivazione (i.e. \(\mathcal{Z}[-n\ a(n)](z)=z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z} \mathcal{Z}[a(n)](z)\)) e per linearità si ha:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}^{-1}[f(z)](n) &= \frac{1}{2}\ \mathcal{Z}^{-1}\left[z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{1}{(z-1)^2}\right]\right](n)\\
&= -\frac{n}{2}\ \mathcal{Z}^{-1} \left[ \frac{1}{(z-1)^2}\right](n)\; ,
\end{split}
\]
quindi dobbiamo calcolare \(\mathcal{Z}^{-1} \left[ \frac{1}{(z-1)^2}\right]\).
Dato che:
\[
\frac{1}{(z-1)^2} = \left(\underbrace{\frac{1}{z}\ z}_{\color{red}{\text{trucco!}}}\right)\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \underbrace{1+\frac{1}{z-1}}_{\color{red}{\text{barbatrucco!}}}\right] = \frac{1}{z}\ \left(z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z}{z-1}\right]\right)
\]
per la (I) (con \(k=-1\)) e la regola di derivazione si ha:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}^{-1} \left[ \frac{1}{(z-1)^2}\right](n) &= \mathcal{Z}^{-1} \left[ \frac{1}{z}\ \left(z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z}{z-1}\right]\right)\right](n)\\
&= \mathcal{Z}^{-1} \left[ z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z}{z-1}\right]\right](m)\Bigg|_{m=n-1}\\
&= -m\ \mathcal{Z}^{-1}[z/(z-1)](m)\Bigg|_{m=n-1} \\
&= -m\ \operatorname{u}(m)\Big|_{m=n-1}\\
&= -(n-1)\ \operatorname{u}(n-1)\; ;
\end{split}
\]
cosicché, sostituendo otteniamo:
\[
\mathcal{Z}^{-1}[f(z)](n) = -\frac{n}{2}\ \Big( -(n-1)\ \operatorname{u}(n-1)\Big) = \frac{n(n-1)}{2}\ \operatorname{u}(n-1)
\]
ed infine:
\[
\mathcal{Z}^{-1}[z\ f(z)](n) = \frac{m(m-1)}{2}\ \operatorname{u}(m-1)\Bigg|_{m=n+1} = \frac{(n+1)n}{2}\ \operatorname{u}(n)\; ,
\]
che è il risultato corretto dell'esercizio.
Supponiamo di voler antitrasformare una funzione del tipo \(z^k\ f(z)\), cioè di voler calcolare:
\[
\mathcal{Z}_u^{-1} [z^k\ f(z)](n)\; ,
\]
ove \(k\in \mathbb{Z}\) è fissato ed \(f(z)\) è una funzione antitrasformabile in un dominio "causale", cioè in un intorno circolare di \(\infty\) del tipo \(|z|>r\) (con \(r>0\)).
Detta \(a(n)\) l'antitrasformata di \(f(z)\), i.e. l'unica successione tale che \(f(z)=\mathcal{Z}[a(n)](z)\) per \(|z|>r\), dalla proprietà di traslazione discende che:
\[
\mathcal{Z}[a(n+k)](z) = z^k\ \mathcal{Z}[a(n)](z)= z^k\ f(z)\; ,
\]
sicché la funzione \(z^k\ f(z)\) è antitrasformabile in \(|z|>r\) e si ha:
\[
\tag{I} \mathcal{Z}^{-1}[z^k\ f(z)](n)=\mathcal{Z}^{-1}[f(z)](n+k)
\]
cioè l'antitrasformata di \(z^k\ f(z)\) coincide con la \(k\)-traslata dell'antitrasformata di \(f(z)\).
Stabilito ciò, nel tuo caso si vuole calcolare \(\mathcal{Z}^{-1}[z^2/(z-1)^3]\) essendo noto che la funzione \(f(z):=z/(z-1)^3\) è antitrasformabile.
La (I) usata con \(k=1\) importa:
\[
\mathcal{Z}^{-1}[z\ f(z)](n) = \mathcal{Z}^{-1}[f(z)](n+1)
\]
quindi per risolvere l'esercizio bisogna calcolare semplicemente \(\mathcal{Z}^{-1}[f(z)]\) e traslare il risultato.
Se l'antitrasformata di \(f(z)\) è nota, allora l'esercizio finisce qui; altrimenti si può proseguire come illustrato di seguito.
Abbiamo:
\[
f(z) = \frac{z}{(z-1)^3} = \frac{z}{2}\ \frac{2}{(z-1)^3} = \frac{z}{2}\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{1}{(z-1)^2}\right]
\]
cosicché, per la regola di derivazione (i.e. \(\mathcal{Z}[-n\ a(n)](z)=z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z} \mathcal{Z}[a(n)](z)\)) e per linearità si ha:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}^{-1}[f(z)](n) &= \frac{1}{2}\ \mathcal{Z}^{-1}\left[z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{1}{(z-1)^2}\right]\right](n)\\
&= -\frac{n}{2}\ \mathcal{Z}^{-1} \left[ \frac{1}{(z-1)^2}\right](n)\; ,
\end{split}
\]
quindi dobbiamo calcolare \(\mathcal{Z}^{-1} \left[ \frac{1}{(z-1)^2}\right]\).
Dato che:
\[
\frac{1}{(z-1)^2} = \left(\underbrace{\frac{1}{z}\ z}_{\color{red}{\text{trucco!}}}\right)\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \underbrace{1+\frac{1}{z-1}}_{\color{red}{\text{barbatrucco!}}}\right] = \frac{1}{z}\ \left(z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z}{z-1}\right]\right)
\]
per la (I) (con \(k=-1\)) e la regola di derivazione si ha:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}^{-1} \left[ \frac{1}{(z-1)^2}\right](n) &= \mathcal{Z}^{-1} \left[ \frac{1}{z}\ \left(z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z}{z-1}\right]\right)\right](n)\\
&= \mathcal{Z}^{-1} \left[ z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z}{z-1}\right]\right](m)\Bigg|_{m=n-1}\\
&= -m\ \mathcal{Z}^{-1}[z/(z-1)](m)\Bigg|_{m=n-1} \\
&= -m\ \operatorname{u}(m)\Big|_{m=n-1}\\
&= -(n-1)\ \operatorname{u}(n-1)\; ;
\end{split}
\]
cosicché, sostituendo otteniamo:
\[
\mathcal{Z}^{-1}[f(z)](n) = -\frac{n}{2}\ \Big( -(n-1)\ \operatorname{u}(n-1)\Big) = \frac{n(n-1)}{2}\ \operatorname{u}(n-1)
\]
ed infine:
\[
\mathcal{Z}^{-1}[z\ f(z)](n) = \frac{m(m-1)}{2}\ \operatorname{u}(m-1)\Bigg|_{m=n+1} = \frac{(n+1)n}{2}\ \operatorname{u}(n)\; ,
\]
che è il risultato corretto dell'esercizio.
Grazie mille gugo. Ci sono alcuni passaggi che non mi sono chiari ma adesso mi studio un pò il tuo post e magari se ho problemi scrivo qui. Grazie ancora.
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