Antitrasfomata funzione $e^(-s)$
dovrei effettuare l'antitrasformata di questa trasformata di laplace $f(s)=(s^3-e^(-s))/(s^2(1+e^(-s)-2e^(-2s)))$.con i metodi classici non è possibile.dovrò forse adoperare l'antitrasformazione per serie?vi prego aiuto
Risposte
inizia a scomporre in due funzioni razionali "spezzando" il numeratore, e poi potresti applicare la formula di Hermite (attenzione al $e^(-s)$ che ti dice che devi calcolare l'antitrasformata in $t=t-1$
"dlbp":
inizia a scomporre in due funzioni razionali "spezzando" il numeratore, e poi potresti applicare la formula di Hermite (attenzione al $e^(-s)$ che ti dice che devi calcolare l'antitrasformata in $t=t-1$
allora scomponendo il numeratore ottengo $((s-e^(-s/3))(1+e^(-s/3)+e^(-2/3*s)))/(s^2(1+e^(-s)-2e^(-2s)))$ a questo punto applico la formula di hermite che per intenderci è la formula di scomposizione in fratti semplici.esatto?
aggiungo:
il denominatore ha un polo in $s=0$.e basta?
@mazzy89: Ebbene sì, devi antitrasformare per serie.
Provando a spezzare la frazione in due addendi, il primo pezzo viene:
[tex]$X(s)=\frac{s}{1+e^{-s}-2e^{-2s}}$[/tex]
e, facendo un po' di calcoli, si vede che:
[tex]$X(s)=\frac{s}{(1-e^{-s})(1+2e^{-s})} =\frac{se^s}{3}\ \left( \frac{1}{1-e^{-s}} -\frac{1}{1+2e^{-s}}\right)$[/tex],
donde, ricordando la serie geometrica, si trae:
[tex]$X(s)=\frac{se^s}{3} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-ns} -\sum_{n=0}^{+\infty} (-2)^n e^{-ns}\right)$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1-(-2)^n}{3}\ s\ e^{(1-n)s}$[/tex]
e da qui mi pare si antitrasformi facilmente (perchè basta antitrasformare gli addendi della serie che vengono nella forma [tex]$s\ e^{(1-n)s}$[/tex] e perciò sono antitrasformabili elementarmente).
L'altro addendo, ossia:
[tex]$Y(s)=-\frac{e^{-s}}{s^2 (1+e^{-s}-2e^{-2s})}$[/tex],
mi sembra si gestisca con gli stessi trucchi.
Comunque, carino questo esercizio.
Provando a spezzare la frazione in due addendi, il primo pezzo viene:
[tex]$X(s)=\frac{s}{1+e^{-s}-2e^{-2s}}$[/tex]
e, facendo un po' di calcoli, si vede che:
[tex]$X(s)=\frac{s}{(1-e^{-s})(1+2e^{-s})} =\frac{se^s}{3}\ \left( \frac{1}{1-e^{-s}} -\frac{1}{1+2e^{-s}}\right)$[/tex],
donde, ricordando la serie geometrica, si trae:
[tex]$X(s)=\frac{se^s}{3} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-ns} -\sum_{n=0}^{+\infty} (-2)^n e^{-ns}\right)$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1-(-2)^n}{3}\ s\ e^{(1-n)s}$[/tex]
e da qui mi pare si antitrasformi facilmente (perchè basta antitrasformare gli addendi della serie che vengono nella forma [tex]$s\ e^{(1-n)s}$[/tex] e perciò sono antitrasformabili elementarmente).
L'altro addendo, ossia:
[tex]$Y(s)=-\frac{e^{-s}}{s^2 (1+e^{-s}-2e^{-2s})}$[/tex],
mi sembra si gestisca con gli stessi trucchi.
Comunque, carino questo esercizio.
"gugo82":
@mazzy89: Ebbene sì, devi antitrasformare per serie.
Provando a spezzare la frazione in due addendi, il primo pezzo viene:
[tex]$X(s)=\frac{s}{1+e^{-s}-2e^{-2s}}$[/tex]
e, facendo un po' di calcoli, si vede che:
[tex]$X(s)=\frac{s}{(1-e^{-s})(1+2e^{-s})} =\frac{se^s}{3}\ \left( \frac{1}{1-e^{-s}} -\frac{1}{1+2e^{-s}}\right)$[/tex],
donde, ricordando la serie geometrica, si trae:
[tex]$X(s)=\frac{se^s}{3} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-ns} -\sum_{n=0}^{+\infty} (-2)^n e^{-ns}\right)$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1-(-2)^n}{3}\ s\ e^{(1-n)s}$[/tex]
e da qui mi pare si antitrasformi facilmente (perchè basta antitrasformare gli addendi della serie che vengono nella forma [tex]$s\ e^{(1-n)s}$[/tex] e perciò sono antitrasformabili elementarmente).
L'altro addendo, ossia:
[tex]$Y(s)=-\frac{e^{-s}}{s^2 (1+e^{-s}-2e^{-2s})}$[/tex],
mi sembra si gestisca con gli stessi trucchi.
Comunque, carino questo esercizio.
eh già esercizio "molto carino" per far scervellare noi poveri studenti davanti all'analisi complessa.in verità questo esercizio è uno stralcio di un esercizio più grande di un sistema in cui le incognite sono distribuzioni e si risolvendo facendo uso della trasformata di laplace.domanda gugo: arrivato a qui dici che si risolve molto facilmente [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1-(-2)^n}{3}\ s\ e^{(1-n)s}$[/tex] ma non capisco come!potresti spiegarmelo please.scusami ma sono un pò confuso!!!
aggiungo
come sei arrivato ad ottenere la quantità che hai al denominatore:
[tex]$X(s)=\frac{s}{(1-e^{-s})(1+2e^{-s})}$[/tex]
Beh, l'antitrasformata di [tex]$X_n(s):=e^{(1-n)s}=e^{-(n-1)s}$[/tex] è nota e, se non sbaglio, è:
[tex]$x_n(t)=\delta (t-(n-1))=\delta (t-n+1)$[/tex];
quindi risulta:
[tex]$\mathcal{L}^{-1}[sX_n(s)](t)=[x_n(t)]^\prime=\delta^\prime (t-n+1)$[/tex],
per la proprietà di derivazione nel tempo... Ricordo male?
Per quanto riguarda il denominatore, è facile.
Ho:
[tex]$1+e^{-s}-2e^{-2s}=e^{-2s} (e^{2s}+e^s-2)$[/tex];
mettendo [tex]$\sigma=e^{2s}$[/tex] la quantità tra parentesi diviene [tex]$\sigma^2+\sigma-2$[/tex] ed è evidente che tale quantità è uguale a [tex]$(\sigma -1)(\sigma +2)$[/tex] (se proprio vuoi esserne certo, basta risolvere l'equazione [tex]$\sigma^2+\sigma -2=0$[/tex] così da poter fattorizzare il polinomio); tornando agli esponenziali si ha:
[tex]$1+e^{-s}-2e^{-2s}=e^{-2s} (e^s-1)(e^s+2)=e^{-s} (1-e^{-s})(1+2e^{-s})$[/tex],
e da ciò la decomposizione fatta sopra.
[tex]$x_n(t)=\delta (t-(n-1))=\delta (t-n+1)$[/tex];
quindi risulta:
[tex]$\mathcal{L}^{-1}[sX_n(s)](t)=[x_n(t)]^\prime=\delta^\prime (t-n+1)$[/tex],
per la proprietà di derivazione nel tempo... Ricordo male?
Per quanto riguarda il denominatore, è facile.
Ho:
[tex]$1+e^{-s}-2e^{-2s}=e^{-2s} (e^{2s}+e^s-2)$[/tex];
mettendo [tex]$\sigma=e^{2s}$[/tex] la quantità tra parentesi diviene [tex]$\sigma^2+\sigma-2$[/tex] ed è evidente che tale quantità è uguale a [tex]$(\sigma -1)(\sigma +2)$[/tex] (se proprio vuoi esserne certo, basta risolvere l'equazione [tex]$\sigma^2+\sigma -2=0$[/tex] così da poter fattorizzare il polinomio); tornando agli esponenziali si ha:
[tex]$1+e^{-s}-2e^{-2s}=e^{-2s} (e^s-1)(e^s+2)=e^{-s} (1-e^{-s})(1+2e^{-s})$[/tex],
e da ciò la decomposizione fatta sopra.
"gugo82":
Beh, l'antitrasformata di [tex]$X_n(s):=e^{(1-n)s}=e^{-(n-1)s}$[/tex] è nota e, se non sbaglio, è:
[tex]$x_n(t)=\delta (t-(n-1))=\delta (t-n+1)$[/tex];
quindi risulta:
[tex]$\mathcal{L}^{-1}[sX_n(s)](t)=[x_n(t)]^\prime=\delta^\prime (t-n+1)$[/tex],
per la proprietà di derivazione nel tempo... Ricordo male?
ah si esattamente.ricordo benissimo.perfetto gugo.grazie tante per la dritta
ti ho aggiunto una cosa nel messaggio di prima
Anzi, per fare le cose per bene...
Hai:
[tex]$\frac{1}{1+e^{-s}-2e^{-2s}} =\frac{e^{2s}}{e^{2s}+e^s-2}=\frac{e^{2s}}{(e^s-1)(e^s+2)}$[/tex];
se poni [tex]$\sigma=e^s$[/tex] e lasci da parte il numeratore, per ricondurti a qualcosa di simile alla somma della serie geometrica non c'è altra strada se non quella di decomporre in fratti semplici la funzione razionale [tex]\frac{1}{(\sigma -1)(\sigma +2)}[/tex]; senza sforzo si vede che essa si scrive come [tex]\frac{1}{3 (\sigma -1)} -\frac{1}{3(\sigma +2)}[/tex] e, sostituendo a ritroso [tex]$e^{s}=\sigma$[/tex] e recuperando il numeratore, si trova:
[tex]$\frac{1}{1+e^{-s}-2e^{-2s}}=\frac{e^{2s}}{3(e^s-1)} -\frac{e^{2s}}{3(e^s+2)} =\frac{e^s}{3} \left( \frac{1}{1-e^{-s}} -\frac{1}{1+2e^{-s}}\right)$[/tex].
Hai:
[tex]$\frac{1}{1+e^{-s}-2e^{-2s}} =\frac{e^{2s}}{e^{2s}+e^s-2}=\frac{e^{2s}}{(e^s-1)(e^s+2)}$[/tex];
se poni [tex]$\sigma=e^s$[/tex] e lasci da parte il numeratore, per ricondurti a qualcosa di simile alla somma della serie geometrica non c'è altra strada se non quella di decomporre in fratti semplici la funzione razionale [tex]\frac{1}{(\sigma -1)(\sigma +2)}[/tex]; senza sforzo si vede che essa si scrive come [tex]\frac{1}{3 (\sigma -1)} -\frac{1}{3(\sigma +2)}[/tex] e, sostituendo a ritroso [tex]$e^{s}=\sigma$[/tex] e recuperando il numeratore, si trova:
[tex]$\frac{1}{1+e^{-s}-2e^{-2s}}=\frac{e^{2s}}{3(e^s-1)} -\frac{e^{2s}}{3(e^s+2)} =\frac{e^s}{3} \left( \frac{1}{1-e^{-s}} -\frac{1}{1+2e^{-s}}\right)$[/tex].
"gugo82":
Anzi, per fare le cose per bene...
Hai:
[tex]$\frac{1}{1+e^{-s}-2e^{-2s}} =\frac{e^{2s}}{e^{2s}+e^s-2}=\frac{e^{2s}}{(e^s-1)(e^s+2)}$[/tex];
se poni [tex]$\sigma=e^s$[/tex] e lasci da parte il numeratore, per ricondurti a qualcosa di simile alla somma della serie geometrica non c'è altra strada se non quella di decomporre in fratti semplici la funzione razionale [tex]\frac{1}{(\sigma -1)(\sigma +2)}[/tex]; senza sforzo si vede che essa si scrive come [tex]\frac{1}{3 (\sigma -1)} -\frac{1}{3(\sigma +2)}[/tex] e, sostituendo a ritroso [tex]$e^{s}=\sigma$[/tex] e recuperando il numeratore, si trova:
[tex]$\frac{1}{1+e^{-s}-2e^{-2s}}=\frac{e^{2s}}{3(e^s-1)} -\frac{e^{2s}}{3(e^s+2)} =\frac{e^s}{3} \left( \frac{1}{1-e^{-s}} -\frac{1}{1+2e^{-s}}\right)$[/tex].
grazie tante gugo.ti ringrazio immensamente.adesso ho capito.era tutta una questione di passaggi algebrici.azz.troppo cieco per vederli o meglio troppo scarso.ti ringrazio tanto tanto tanto.
Non sei scarso; è solo questione di abitudine: quando fai un po' di esercizi, alla fine, impari dove cercare.
In questo caso l'unica cosa fattibile era cercare di scomporre il denominatore (che era un polinomio in [tex]$e^s$[/tex]) e fare i fratti semplici con dentro [tex]$e^s$[/tex], perchè in tal modo facevi uscire fuori tutte le somme di serie geometriche "nascoste" dentro quella funzione zozzona.
Fatto ciò, rimanevano addendi da antitrasformare con le proprietà di base e le trasformate note.
Ci ho dovuto pensare un po', ma è meglio ragionare che fare conti lungherrimi (e noiosissimi, come in alcune tracce di Metodi che ho visto di recente).
P.S.: Mi scriveresti la traccia dell'esercizio, ossia il problema da cui viene fuori quella roba da antitrasformare?
In questo caso l'unica cosa fattibile era cercare di scomporre il denominatore (che era un polinomio in [tex]$e^s$[/tex]) e fare i fratti semplici con dentro [tex]$e^s$[/tex], perchè in tal modo facevi uscire fuori tutte le somme di serie geometriche "nascoste" dentro quella funzione zozzona.
Fatto ciò, rimanevano addendi da antitrasformare con le proprietà di base e le trasformate note.
Ci ho dovuto pensare un po', ma è meglio ragionare che fare conti lungherrimi (e noiosissimi, come in alcune tracce di Metodi che ho visto di recente).
P.S.: Mi scriveresti la traccia dell'esercizio, ossia il problema da cui viene fuori quella roba da antitrasformare?
"gugo82":sono anato
Non sei scarso; è solo questione di abitudine: quando fai un po' di esercizi, alla fine, impari dove cercare.
In questo caso l'unica cosa fattibile era cercare di scomporre il denominatore (che era un polinomio in [tex]$e^s$[/tex]) e fare i fratti semplici con dentro [tex]$e^s$[/tex], perchè in tal modo facevi uscire fuori tutte le somme di serie geometriche "nascoste" dentro quella funzione zozzona.
Fatto ciò, rimanevano addendi da antitrasformare con le proprietà di base e le trasformate note.
Ci ho dovuto pensare un po', ma è meglio ragionare che fare conti lungherrimi (e noiosissimi, come in alcune tracce di Metodi che ho visto di recente).
P.S.: Mi scriveresti la traccia dell'esercizio, ossia il problema da cui viene fuori quella roba da antitrasformare?
scusami gugo se ti rispondo solamente adesso ma ieri il letto chiamava.
ecco qui la traccia dell'esercizio${(T(t)+2T(t-1)+U(t-1)=delta),(T'(t)+2T'(t-1)+U^{\prime}(t)=u(t)):}$ essendo $T,U in D'_(+),delta$ la distribuzione di Dirac e $u(t)$ la funzoine di Heavyside
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