Antiimmagine di B

[pepp1995]

Sulle slides ho la seguente definizione :
< $f : D sube R --> R $
e un sottoinsieme $B$ di $f (D)$ chiamiamo antiimmagine di B e
indichiamo con
$f (B)$
l’insieme

$f^(-1) (B) = {x: x in D, f (x) in B}$>>

Il fatto è che non mi sembra corretto che $B$ sia un sottoinsieme dell'immagine del Dominio. Infatti se rappresentato con il Diagramma di Venn si avrebbe che l'antiimmagine di B è l'intero Dominio.
Non si dovrebbe considerare B come un sottoinsieme dell'immagine di " un sottoinsieme A del Dominio" in modo tale che l'antiimmagine di B sia quel singolo sottoinsieme del Dominio e non l'intero Dominio ?


In pratica nella definizione della slide ci si riferisce :

-all'antimmagine di un sottoinsieme B dell'immagine $"di tutto "$ il Dominio

Invece quello che mi chiedo è :
-possiamo definire l'antiimmagine di un sottoinsieme B dell'immagine $"di un sottoinsieme "$ del Dominio ?

[seb1]

"pepp1995":Il fatto è che non mi sembra corretto che $B$ sia un sottoinsieme dell'immagine del Dominio. Infatti se rappresentato con il Diagramma di Venn si avrebbe che l'antiimmagine di B è l'intero Dominio.

Perché?
Ad esempio, data la funzione \(f\colon\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) definita dalla legge \(f(x)=x\), preso il sottoinsieme \(B=[0,1]\) dell'immagine \(f(\mathbb{R})\), la controimmagine è \([0,1]\) e non \(\mathbb{R}\).

[anto_zoolander]

Inoltre prendendo un sottoinsieme del complementare dell’immagine nel codominio, ottieni il vuoto.
Il vuoto non si offende mica

[pepp1995]

"seb":[quote="pepp1995"]Il fatto è che non mi sembra corretto che $B$ sia un sottoinsieme dell'immagine del Dominio. Infatti se rappresentato con il Diagramma di Venn si avrebbe che l'antiimmagine di B è l'intero Dominio.

Perché?
Ad esempio, data la funzione \(f\colon\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) definita dalla legge \(f(x)=x\), preso il sottoinsieme \(B=[0,1]\) dell'immagine \(f(\mathbb{R})\), la controimmagine è \([0,1]\) e non \(\mathbb{R}\).[/quote]


Chiaro .
E nel caso particolare di una funzione suriettiva , si avrebbe che il Dominio è l'antiimmagine di tutto il Codominio" ?

[seb1]

In generale no, perché non è detto che il codominio coincida con l'immagine del dominio.

[dissonance]

@seb: in questo caso si:

caso particolare di funzione suriettiva

[seb1]

Sì, sì: dal cellulare non ho reso una buona frase. Grazie per il double-check.

[otta96]

"pepp1995":E nel caso particolare di una funzione suriettiva , si avrebbe che il Dominio è l'antiimmagine di tutto il Codominio" ?

Questo è vero sempre, ciò che hai nel caso particolare di una funzione suriettiva è che l'unico modo di ottenere il dominio come antiimmagine di qualche sottoinsieme del codominio è prendere come sottoinsieme proprio tutto il codominio.