Anitrasformata di Fourier
Ciao a tutti, ho un esercizio svolto sull' Antitrasformata di Fourier, l'esercizio è il seguente:
Data la trasformata di Fourier della funzione $f(x)={(3e^(-3x),|x|>0),(0,|x|<0):}$,
Che è pari a $hat{f}(omega)=(9-3iomega)/(9+omega^2)$,
Calcolare il valore del seguente integrale $int_(-oo)^(+oo)dx/(9+x^2)$.
Viene risolto in qusto modo:
Usando il teorema d'invrsione della trasformata di di Fourier, si ha:
$(f(x^-)+f(x^+))/2=1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)hat{f}(omega)e^(iomegax)domega=1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)(9-3iomega)/(9+omega^2)domega$.
L'integrale richiesto si ottiene per $x=0$ e si ha:
$(f(0^-)+f(0^+))/2=(0+3)/2=3/2=1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)(9/(9+omega^2)-i(3omega)/(9+omega^2))domega$.
Uguagliando parte reale e parte immaginaria, si ottiene, per la parte reale:
$1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)9/(9+omega^2)domega=3/2$ $rArr$ $int_(-oo)^(+oo)9/(9+omega^2)=3pi$,
Fino ad ora mi trovo, quello che invce non capisco è il passaggio successivo riguardate la parte immaginaria:
$1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)(-3iomega)/(9+omega^2)domega=3/2$ $rArr$ $int_(-oo)^(+oo)(3omega)/(9+omega^2)domega=0$
Non capisco cosa ha fatto, perché esce zero? io l'ho risolta come una equazione, ho fatto la stessa cosa per la parte reale e mi trovo... ora dove sto sbaglio?
Io ho fatto in questo modo:
$1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)(-3iomega)/(9+omega^2)domega=3/2$ $rArr$ $int_(-oo)^(+oo)(3omega)/(9+omega^2)=3/2 (2pi)/(-i)=3pii$
Data la trasformata di Fourier della funzione $f(x)={(3e^(-3x),|x|>0),(0,|x|<0):}$,
Che è pari a $hat{f}(omega)=(9-3iomega)/(9+omega^2)$,
Calcolare il valore del seguente integrale $int_(-oo)^(+oo)dx/(9+x^2)$.
Viene risolto in qusto modo:
Usando il teorema d'invrsione della trasformata di di Fourier, si ha:
$(f(x^-)+f(x^+))/2=1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)hat{f}(omega)e^(iomegax)domega=1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)(9-3iomega)/(9+omega^2)domega$.
L'integrale richiesto si ottiene per $x=0$ e si ha:
$(f(0^-)+f(0^+))/2=(0+3)/2=3/2=1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)(9/(9+omega^2)-i(3omega)/(9+omega^2))domega$.
Uguagliando parte reale e parte immaginaria, si ottiene, per la parte reale:
$1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)9/(9+omega^2)domega=3/2$ $rArr$ $int_(-oo)^(+oo)9/(9+omega^2)=3pi$,
Fino ad ora mi trovo, quello che invce non capisco è il passaggio successivo riguardate la parte immaginaria:
$1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)(-3iomega)/(9+omega^2)domega=3/2$ $rArr$ $int_(-oo)^(+oo)(3omega)/(9+omega^2)domega=0$
Non capisco cosa ha fatto, perché esce zero? io l'ho risolta come una equazione, ho fatto la stessa cosa per la parte reale e mi trovo... ora dove sto sbaglio?
Io ho fatto in questo modo:
$1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)(-3iomega)/(9+omega^2)domega=3/2$ $rArr$ $int_(-oo)^(+oo)(3omega)/(9+omega^2)=3/2 (2pi)/(-i)=3pii$
Risposte
Secondo me si tratta di una banale svista. Poiché $3/2=3/2+0\cdot i$, la parte immaginaria dell'integrale va eguagliata a 0 e non a $3/2$
Giusto, capito....
Ho un'altro dubbio su un altro esercizio, l'esercizio riguarda sempre le antitrasformate di Fourier e chiede:
Data la trasformata di Fourier della funzione $f(x)={(x^2,-1<=|x|<=0),(2x,0<=|x|<=1),(0, |x|>1):}$,
Che è pari a $hat{f}(omega)=((2i+4omega+iomega^2)cos omega+3omega^2sinomega-2(i+omega+sinomega))/(omega^3)$,
Calcolare il valore del seguente integrale $int_(-oo)^(+oo)((4xcosx+3x^3sinx-2x-2sinx)cos(x/4)-(2cosx+x^2cosx-2)sin(x/4))/(x^3)dx$.
Viene risolto allo stesso modo usando il teorema d'inversione della trasformata di Fourier:
$(f(x^-)+f(x^+))/2=1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)hat{f}(omega)e^(iomegax)domega$
Che è uguale alla somma di quattro integrali.
L'integrale richiesto si ottiene per $x=1/4$, e quì non capisco il perchè esce $1/4$, da dove lo ha preso? O meglio come o lo ha calcolato????
Data la trasformata di Fourier della funzione $f(x)={(x^2,-1<=|x|<=0),(2x,0<=|x|<=1),(0, |x|>1):}$,
Che è pari a $hat{f}(omega)=((2i+4omega+iomega^2)cos omega+3omega^2sinomega-2(i+omega+sinomega))/(omega^3)$,
Calcolare il valore del seguente integrale $int_(-oo)^(+oo)((4xcosx+3x^3sinx-2x-2sinx)cos(x/4)-(2cosx+x^2cosx-2)sin(x/4))/(x^3)dx$.
Viene risolto allo stesso modo usando il teorema d'inversione della trasformata di Fourier:
$(f(x^-)+f(x^+))/2=1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)hat{f}(omega)e^(iomegax)domega$
Che è uguale alla somma di quattro integrali.
L'integrale richiesto si ottiene per $x=1/4$, e quì non capisco il perchè esce $1/4$, da dove lo ha preso? O meglio come o lo ha calcolato????
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